В статье рассмотрим формулу площади ромба и не одну! На картинках покажем, как легко находиться площадь ромба по простым формулам .
Существует большое количество заданий на нахождение той или иной величины в ромбе и в этом нам помогут формулы, о которых и пойдет речь.
Ромб относится к отдельному виду четырехугольников, так как у него все стороны равны. Так же представляет частный случай параллелограмма в котором стороны АВ=ВС=СD=АD равны.
Заметка: Если Вам нужна курсовая, контрольная или дипломная работа, тогда вам на webmath.ru. или просто перейдите по ссылке заказать курсовую работу (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).
Ромб обладает следующими свойствами:
У ромба параллельные углы равные,
- сложение двух соседних углов равно 180 градусам,
- Пересечение диагоналей под углом в 90 градусов,
- Биссектрисами ромба, приходятся его же диагонали,
- Диагональ при пересечении делится на равные части.
Ромб обладает следующими признаками:
Если у параллелограмма в котором диагонали встречаются под углом 90 градусов, то он называется ромбом.
- Если у параллелограмма в котором биссектриса это диагональ, то он называется ромбом.
- Если у параллелограмма равные стороны - это ромб.
- Если у четырехугольника равные стороны - это ромб.
- Если у четырехугольника в котором биссектриса это диагональ и диагонали встречаются под углом 90 градусов, то это ромб.
- Если у параллелограмма одинаковые высоты - это ромб.
Из вышеперечисленных признаков можно сделать вывод, что они нужны для того чтобы научиться отделять ромб от других схожих с ним фигур.
Так как в ромбе все стороны одинаковы периметр находится
по следующей формуле:
Р=4а
Площадь ромба формула
Данных формул несколько. Самая простая решается как сложение площадь 2 треугольников, которые получились в результате деления диагоналей.
С помощью второй формулы можно решать задачи с известными диагоналями ромба. В этом случае площадью ромба будет: сумма диагоналей деленная на два.
Очень просто в решении и не забудется.
Третью формулу можно использовать когда знаешь угол между сторон. Зная его можно найти площадь ромба, она будет равна квадрату сторон на синус угла. При чем нет разницы какой угол. так как синус угла имеет единое значение.
Важно помнить что измерение площади происходит в квадратах, а периметра в единицах. Данные формулы очень легко применяются на практике.
Так же могут встретиться задачи на поиск радиуса по вписанной в ромб окружности.
Для этого так же существует несколько формул:
В помощью первой формулы радиус находится как произведение диагоналей поделенное на число полученное от сложения всех сторон. либо равняется половине высоты (r=h/2).
Во второй формуле взят принцип из первой, применяется мы знаем диагонали и стороны ромба.
В третьей формуле радиус выходит из высоты меньшего из треугольников, получившегося в результате пересечения.
Определение ромба
Ромб - это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.
Онлайн-калькулятор
Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат .
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.
Формула площади ромба по стороне и высоте
Пусть нам дан ромб со стороной a a a и высотой h h h , проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.
S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h
A a
a
- сторона;
h h
h
- высота, опущенная на сторону a a
a
.
Решим простой пример.
ПримерСторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба S S S .
Решение
A = 5 a=5
a
=
5
h = 2 h=2
h
=
2
Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10
S
=
a
⋅
h
=
5
⋅
2
=
1
0
(см. кв.)
Ответ: 10 см. кв.
Формула площади ромба через диагонали
Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.
S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2 S = 2 1 ⋅ d 1 ⋅ d 2
D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 , d 2 - диагонали ромба.
ПримерОдна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.
Решение
D 1 = 7 d_1=7
d
1
=
7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1
d
2
=
2
⋅
d
1
Найдем вторую диагональ:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14
d
2
=
2
⋅
d
1
=
2
⋅
7
=
1
4
Тогда площадь:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac{1}{2}\cdot7\cdot14=49
S
=
2
1
⋅
7
⋅
1
4
=
4
9
(см. кв.)
Ответ: 49 см. кв.
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
S = a 2 ⋅ sin (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha) S = a 2 ⋅ sin (α )
A a
a
- сторона ромба;
α \alpha
α
- любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.
Решение
A = 10 a=10
a
=
1
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
По формуле получаем:
S = a 2 ⋅ sin (α) = 100 ⋅ sin (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^{\circ})=50
S
=
a
2
⋅
sin
(α
)
=
1
0
0
⋅
sin
(3
0
∘
)
=
5
0
(см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)} S = sin (α ) 4 ⋅ r 2
R r
r
- радиус вписанной окружности в ромб;
α \alpha
α
- любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности - 4 (см.).
Решение
R = 4 r=4
r
=
4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^{\circ}
α
=
6
0
∘
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) = 4 ⋅ 16 sin (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=\frac{4\cdot 16}{\sin(60^{\circ})}\approx73.9 S = sin (α ) 4 ⋅ r 2 = sin (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (см. кв.)
Ответ: 73.9 см. кв.
Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне
S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot r S = 2 ⋅ a ⋅ r
A a
a
-сторона ромба;
r r
r
- радиус вписанной окружности в ромб.
Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.
Решение
A = 5 a=5
a
=
5
r = 4 r=4
r
=
4
S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40 S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (см. кв.)
Ответ: 40 см. кв.
Несмотря на то, что математика – царица наук, а арифметика – царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия – раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.
Ромб – это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π – α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла – как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угла равен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.
Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия – это несложно.
– это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.
Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.
Площадь ромба через диагонали
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.
Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1
=5 см и d2
=4. Найдем площадь.
Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:
Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .
Площади ромба через сторону и угол
Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.
Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.
Задача:
Дан ромб, диагонали которого равны d1
=4 см,d2
=6 см. Острый угол равен α
= 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно: 
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:
– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .
Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).
Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:
Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra
Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a
может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле 
. Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит 