1.1. Числовой ряд и его сумма

Определение 1. Пусть дана числовая последовательность . Образуем выражение

(1)

которое называетсячисловым рядом . Числа называютсячленами ряда , а выражение
 общим членом ряда.

Пример 1. Найти общий член ряда
.

при
,

при

Нетрудно заметить, что общий член ряда .

Поэтому искомый ряд можно записать следующим образом

.

Построим из членов ряда (1) последовательность таким образом:

;

;

;

Каждый член этой последовательности представляет собой сумму соот-ветствующего числа первых членов числового ряда.

Определение 2. Сумма первых п членов ряда (1) называется n -ой частичной суммой числового ряда.

Определение 3. Числовой ряд называетсясходящимся , если
, где числоназываетсясуммой ряда , и пишут
. Если

предел частичных сумм бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд
.

Для того, чтобы вычислить n -ю частичную сумму представим общий член
рядав виде суммы простейших дробей

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n , получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффици-ентов А и В

Отсюда находим, что
, а
.

Следовательно, общий член ряда имеет вид

Тогда частичную сумму можно представить в виде

После раскрытия скобок и приведения подобных членов, она примет вид

.

Вычислим сумму ряда

Так как предел равен конечному числу, то данный ряд сходится.

Пример 2. Проверить на сходимость ряд

 бесконечную геометрическую прогрессию.

Как известно, сумма первых п членов геометрической прогрессии при q 1 равна
.

Тогда имеем следующие случаи:

1. Если
, то

2. Если
, то
, т.е. ряд расходится.

3. Если
, то ряд имеет види тогда
, т.е. ряд расходится.

4. Если
, то ряд имеет види тогда
, если частичная сумма имеет четное число членов и
, если нечётное число, т.е.
не существует, следовательно, ряд расходится.

Определение 4. Разность между суммой ряда S и частичной суммой называетсяостатком ряда и обозначается
, т.е.
.

Так как для сходящихся рядов
, то
,

т.е. будет б.м.в. при
. Таким образом, значениеявляется приближенным значением суммы ряда.

Из определения суммы ряда следуют свойства сходящихся рядов:

1. Если ряды исходятся, т.е. имеют соответственно суммыS и Q , то сходится ряд , где
, а его сумма равнаA S + B Q .

2. Если сходится ряд , то сходится и ряд, полученный из данного

ряда отбрасыванием или добавлением конечного числа членов. Верно и обратное.

1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

Теорема . Если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю при
, т.е.
.

Действительно, имеем

тогда , что и требовалось доказать.

Следствие. Если же
, то ряд расходится. Обратное, вообще говоря, неверно, что будет показано ниже.

Определение 5. Ряд вида называется гармоническим .

Для этого ряда выполняется необходимый признак, так как
.

В то же время он является расходящимся. Покажем это

Таким образом, гармонический ряд расходится.

Тема 2 : Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

2.1. Признаки сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

Признак сравнения. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется неравенство
и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Аналогично, если
и ряд (2) расходится, то расходится и ряд (1).

Пусть исоответственно частичные суммы рядов (1-2), аQ  сумма ряда (2). Тогда для достаточно больших п имеем

Так как
и ограничена, то
, т.е. ряд (1) сходится.

Аналогично доказывается и вторая часть признака.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

.

Сравним с членами ряда
.

Начиная с
, имеем
.

Так как ряд сходится
, то данный ряд также сходится.

На практике часто более удобно пользоваться так называемым предельным признаком сравнения, который вытекает из предыдущего.

Предельный признак сравнения . Если для двух рядов (1-2) с положи-тельными членами выполняется условие

, то

из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2), т.е. ряды ведут себя одинаково.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
.

В качестве ряда для сравнения возьмем гармонический ряд ,

который является расходящимся.

а, следовательно, наш ряд расходится.

Замечание. Часто для сравнения удобно использовать так называемый обобщённый гармонический ряд , который, как будет показано ниже, сходится при
и расходится при
.

Необходимый признак сходимости рядов (доказать).

Теорема 1. (необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится , то .

Доказательство. Ряд сходится, т.е. существует предел . Заметим, что .

Рассмотрим . Тогда . Отсюда, .

Следствие 1. Если не выполнено условие , то ряд расходится.

Замечание 1. Условие не является достаточным для сходимости числового ряда . Например, гармонический ряд расходится, хотя и имеет место .

Определение 1. Числовой ряд a n +1 +a n +2 +…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первых п членов, называется n- м остатком данного ряда и обозначается R n .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток . Обратно : если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом для любого n ÎN выполняется равенство S =S n +R n .

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3. .

32. Признаки сравнения и признак для знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и - ряды с неотрицательными членами , причем для каждого п ÎN выполнено условие а n £b n . Тогда :

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условие а n £b n выполняется с некоторого номера N ÎN .

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и - ряды с неотрицательными членами и существует . Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

33. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть - ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q <1 и расходится при q >1 .

Доказательство. Пусть q <1. Зафиксируем число р такое, что q < p < 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера N ÎN выполняется неравенство a n +1 /a n <p, т.е. a n +1 < p×a n . Тогда a N +1 < p×a N , a N +2 < p 2 ×a N . По индукции легко показать, что для любого k ÎN верно неравенство , a N + k < p k ×a N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p <1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд (по теореме 2.2).

Пусть q >1. Тогда с некоторого номера N ÎN верно неравенство a n +1 /a n >1, т.е. a n +1 >a n . Следовательно, с номера N последовательность (a n ) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию 2.1, вытекает расходимость ряда при q >1.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а >1, и расходится, если a £1. Ряд называется гармоническим рядом , а ряд с произвольным a ÎR называется обобщенным гармоническим рядом .

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или , где a n >0 для каждого n ÎN .

Теорема 1 (Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a n ) - невозрастающая последовательность ;

2) при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. |S |£ a 1 .

Ряды для чайников. Примеры решений

Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.

1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)

Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.

Понятие числового ряда

В общем виде числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа .

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.

Cлагаемые – это ЧИСЛА , которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю) , то такой ряд называют положительным числовым рядом .

Пример 1

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности ,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример 2

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Пример 3

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать , то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример 4

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть .
В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Пример 5

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится . Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует , как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)

Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод : ряд расходится

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Пример 6

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Знакомьтесь:

Данный ряд называется гармоническим рядом . Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится .

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости .

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .

Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :

Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Гармонический ряд – числовой ряд

Называется он так потому, что каждый член гармонического ряда, начиная со второго, равен среднему гармоническому двух соседних (см. Средние значения). Члены гармонического ряда с возрастанием номера убывают и стремятся к нулю, однако частичные суммы неограниченно возрастают. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что

, , ,

Продолжая эти рассуждения, приходим к выводу, что сумма членов гармонического ряда больше, чем . Отсюда следует, что частичные суммы гармонического ряда неограниченно возрастают, т.е. гармонический ряд является расходящимся (см. Ряд). Однако этот рост идет очень медленно. Л. Эйлер, изучавший свойства гармонического ряда, нашел, что

А .

Более того, Эйлер установил замечательную зависимость для частичных сумм гармонического ряда, показав, что существует предел разности , т.е. .

Число в его честь называется постоянной Эйлера, она приближенно равна 0,5772 (сам Эйлер, исходя из других соображений, вычислил с точностью до 15 знаков).

Представим себе «лесенку», сложенную из одинаковых кирпичей, следующим образом: второй кирпич подложен под первый так, что центр тяжести первого приходится на правый край второго, затем под эти два кирпича подложен третий так, что общий центр тяжести первых двух приходится на правый край третьего и т.д. (рис. 1). У такой «лесенки» центр тяжести проецируется в точку , следовательно, «лесенка» не упадет. Если длина кирпича , то 1-й окажется сдвинутым относительно 2-го на , 2-й окажется сдвинутым относительно 3-го на , -й относительно -го на , и вся «лесенка» будет сдвинута вправо на

.

Выражение в скобках есть частичная сумма гармонического ряда. Следовательно, указанным способом можно сложить «лесенку», сдвинутую сколь угодно далеко вправо. Однако, как было замечено, растет очень медленно. Например, если сложить 1000 кирпичей, то составит всего лишь 3,8 длины кирпича.

Гармонический ряд - сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда :

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots .

Сумма первых n членов ряда

Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой s n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}

Некоторые значения частичных сумм

Формула Эйлера

При Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varepsilon _n \rightarrow 0 , следовательно, для больших Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n\approx \ln(n) + \gamma - формула Эйлера для суммы первых Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n членов гармонического ряда.

Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}} , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): B_{2k} - числа Бернулли .

Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.

Теоретико-числовые свойства частичных сумм

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb{N}

Расходимость ряда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n\rightarrow \infty при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n\rightarrow \infty

Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10 43 элементов ряда).

Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n} ,

частичная сумма которого, очевидно, равна:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{i=1}^{n-1} v_i= \ln n \sim H_n .

Доказательство Орема

Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{align} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} & {} = 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} > 1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right] +\cdots \\ & {} = 1 + \ \frac{1}{2}\ \ \ + \quad \frac{1}{2} \ \quad + \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac{1}{2} \ \quad + \ \cdots. \end{align}

Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).

Альтернативное доказательство расходимости

Разница между Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n -м гармоническим числом и натуральным логарифмом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n сходится к постоянной Эйлера - Маскерони .

Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_1=1 , не является целым .

Связанные ряды

Ряд Дирихле

Обобщённым гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots .

Обобщённый гармонический ряд расходится при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha \leqslant 1 и сходится при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha > 1 .

Сумма обобщённого гармонического ряда порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \alpha равна значению дзета-функции Римана :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha)

Для чётных это значение явно выражается через число пи , например, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.

Другой иллюстрацией расходимости гармонического ряда может служить соотношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta(1+\frac{1}{n}) \sim n .

Знакопеременный ряд

В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Эта формула - частный случай ряда Меркатора (англ. ), ряда Тейлора для натурального логарифма.

Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

Это соотношение известно как ряд Лейбница .

Случайный гармонический ряд

В 2003 году изучены свойства случайного ряда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): s_n - независимые , одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1 , и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности , вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

отличаясь от ⅛ на менее чем 10 −42 .

«Истончённый» гармонический ряд

Ряд Кемпнера (англ. )

Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n , все меньше слагаемых берется для суммы «истончённого» ряда. То есть в конечном счете отбрасывается подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

Напишите отзыв о статье "Гармонический ряд"

Примечания

Просмотр этого шаблона Последовательности и ряды Последовательности Ряды, основное Числовые ряды (действия с числовыми рядами) Функциональные ряды Другие виды рядов Признаки сходимости Просмотр этого шаблона Признаки сходимости рядов Для всех рядов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum^\infty_{n=1}a_n Для знакоположительных рядов Для знакочередующихся рядов Для рядов вида Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum^\infty_{n=1}a_n b_n Для функциональных рядов Для рядов Фурье

Отрывок, характеризующий Гармонический ряд

Страшный день подходил к концу. Я сидела у распахнутого окна, ничего не чувствуя и не слыша. Мир стал для меня застывшим и безрадостным. Казалось – он существовал отдельно, не пробиваясь в мой уставший мозг и никак не касаясь меня... На подоконнике, играясь, всё также верещали неугомонные «римские» воробьи. Внизу звучали человеческие голоса и обычный дневной шум бурлящего города. Но всё это доходило до меня через какую-то очень плотную «стену», которая почти что не пропускала звуков... Мой привычный внутренний мир опустел и оглох. Он стал совершенно чужим и тёмным... Милого, ласкового отца больше не существовало. Он ушёл следом за Джироламо...
Но у меня всё ещё оставалась Анна. И я знала, что должна жить, чтобы спасти хотя бы её от изощрённого убийцы, звавшего себя «наместником Бога», святейшим Папой... Трудно было даже представить, если Караффа был всего лишь его «наместником», то каким же зверем должен был оказаться этот его любимый Бог?!. Я попыталась выйти из своего «замороженного» состояния, но как оказалось – это было не так-то просто – тело совершенно не слушалось, не желая оживать, а уставшая Душа искала только покоя... Тогда, видя, что ничего путного не получается, я просто решила оставить себя в покое, отпустив всё на самотёк.
Ничего больше не думая, и ничего не решая, я просто «улетела» туда, куда стремилась моя израненная Душа, чтобы спастись... Чтобы хотя бы чуточку отдохнуть и забыться, уйдя далеко от злого «земного» мира туда, где царил только свет...
Я знала, что Караффа не оставит меня надолго в покое, несмотря на то, что мне только что пришлось пережить, даже наоборот – он будет считать, что боль ослабила и обезоружила меня, и возможно именно в этот момент попробует заставить меня сдаться, нанеся какой-то очередной ужасающий удар...
Дни шли. Но, к моему величайшему удивлению, Караффа не появлялся... Это было огромным облегчением, но расслабляться, к сожалению, не позволяло. Ибо каждое мгновение я ожидала, какую новую подлость придумает для меня его тёмная, злая душа...
Боль с каждым днём потихонечку притуплялась, в основном, благодаря пару недель назад происшедшему и совершенно меня ошеломившему неожиданному и радостному происшествию – у меня появилась возможность слышать своего погибшего отца!..
Я не смогла увидеть его, но очень чётко слышала и понимала каждое слово, будто отец находился рядом со мной. Сперва я этому не поверила, думая, что просто брежу от полного измождения. Но зов повторился... Это и, правда, был отец.
От радости я никак не могла придти в себя и всё боялась, что вдруг, прямо сейчас, он просто возьмёт и исчезнет!.. Но отец не исчезал. И понемножку успокоившись, я наконец-то смогла ему отвечать...
– Неужели это и правда – ты!? Где же ты сейчас?.. Почему я не могу увидеть тебя?
– Доченька моя... Ты не видишь, потому, что совершенно измучена, милая. Вот Анна видит, я был у неё. И ты увидишь, родная. Только тебе нужно время, чтобы успокоиться.
Чистое, знакомое тепло разливалось по всему телу, окутывая меня радостью и светом...
– Как ты, отец!?. Скажи мне, как она выглядит, эта другая жизнь?.. Какая она?
– Она чудесна, милая!.. Только пока ещё непривычна. И так не похожа на нашу бывшую, земную!.. Здесь люди живут в своих мирах. И они так красивы, эти «миры»!.. Только у меня не получается ещё. Видимо, пока ещё рано мне... – голос на секунду умолк, как бы решая, говорить ли дальше.
– Меня встретил твой Джироламо, доченька... Он такой же живой и любящий, каким был на Земле... Он очень сильно скучает по тебе и тоскует. И просил передать тебе, что так же сильно любит тебя и там... И ждёт тебя, когда бы ты ни пришла... И твоя мама – она тоже с нами. Мы все любим и ждём тебя, родная. Нам очень не хватает тебя... Береги себя, доченька. Не давай Караффе радости издеваться над тобою.
– Ты ещё придёшь ко мне, отец? Я ещё услышу тебя? – боясь, что он вдруг исчезнет, молила я.
– Успокойся, доченька. Теперь это мой мир. И власть Караффы не простирается на него. Я никогда не оставлю ни тебя, ни Анну. Я буду приходить к вам, когда только позовёшь. Успокойся, родная.
– Что ты чувствуешь, отец? Чувствуешь ли ты что-либо?.. – чуть стесняясь своего наивного вопроса, всё же спросила я.
– Я чувствую всё то же, что чувствовал на Земле, только намного ярче. Представь рисунок карандашом, который вдруг заполняется красками – все мои чувства, все мысли намного сильнее и красочнее. И ещё... Чувство свободы потрясающе!.. Вроде бы я такой же, каким был всегда, но в то же время совершенно другой... Не знаю, как бы точнее объяснить тебе, милая... Будто я могу сразу объять весь мир, или просто улететь далеко, далеко, к звёздам... Всё кажется возможным, будто я могу сделать всё, что только пожелаю! Это очень сложно рассказать, передать словами... Но поверь мне, доченька – это чудесно! И ещё... Я теперь помню все свои жизни! Помню всё, что когда-то было со мною... Всё это потрясает. Не так уж и плоха, как оказалось, эта «другая» жизнь... Поэтому, не бойся, доченька, если тебе придётся придти сюда – мы все будем ждать тебя.
– Скажи мне отец... Неужели таких людей, как Караффа, тоже ждёт там прекрасная жизнь?.. Но ведь, в таком случае, это опять страшная несправедливость!.. Неужели опять всё будет, как на Земле?!.. Неужели он никогда не получит возмездие?!!
– О нет, моя радость, Караффе здесь не найдётся места. Я слышал, такие, как он, уходят в ужасный мир, только я пока ещё там не был. Говорят – это то, что они заслужили!.. Я хотел посмотреть, но ещё не успел пока. Не волнуйся, доченька, он получит своё, попав сюда.
– Можешь ли ты помочь мне оттуда, отец?– с затаённой надеждой спросила я.
– Не знаю, родная... Я пока ещё не понял этот мир. Я как дитя, делающее первые шаги... Мне предстоит сперва «научиться ходить», прежде чем я смогу ответить тебе... А теперь я уже должен идти. Прости, милая. Сперва я должен научиться жить среди наших двух миров. А потом я буду приходить к тебе чаще. Мужайся, Изидора, и ни за что не сдавайся Караффе. Он обязательно получит, что заслужил, ты уж поверь мне.
Голос отца становился всё тише, пока совсем истончился и исчез... Моя душа успокоилась. Это и правда был ОН!.. И он снова жил, только теперь уже в своём, ещё незнакомом мне, посмертном мире... Но он всё также думал и чувствовал, как он сам только что говорил – даже намного ярче, чем когда он жил на Земле. Я могла больше не бояться, что никогда не узнаю о нём... Что он ушёл от меня навсегда.
Но моя женская душа, несмотря ни на что, всё так же скорбела о нём... О том, что я не могла просто по-человечески его обнять, когда мне становилось одиноко... Что не могла спрятать свою тоску и страх на его широкой груди, желая покоя... Что его сильная, ласковая ладонь не могла больше погладить мою уставшую голову, этим как бы говоря, что всё уладится и всё обязательно будет хорошо... Мне безумно не хватало этих маленьких и вроде бы незначительных, но таких дорогих, чисто «человеческих» радостей, и душа голодала по ним, не в состоянии найти успокоения. Да, я была воином... Но ещё я была и женщиной. Его единственной дочерью, которая раньше всегда знала, что случись даже самое страшное – отец всегда будет рядом, всегда будет со мной... И я болезненно по всему этому тосковала...
Кое-как стряхнув нахлынувшую печаль, я заставила себя думать о Караффе. Подобные мысли тут же отрезвляли и заставляли внутренне собираться, так как я прекрасно понимала, что данный «покой» являлся всего лишь временной передышкой...
Но к моему величайшему удивлению – Караффа всё также не появлялся...
Проходили дни – тревога росла. Я пыталась придумать какие-то объяснения его отсутствию, но ничего серьёзного, к сожалению, в голову не приходило... Я чувствовала, что он что-то готовит, но никак не могла угадать – что. Измученные нервы сдавали. И чтобы окончательно не сойти с ума от ожидания, я начала каждодневно гулять по дворцу. Выходить мне не запрещалось, но и не одобрялось, поэтому, не желая далее сидеть взаперти, я для себя решила, что буду гулять... несмотря на то, что возможно это кому-то и не понравится. Дворец оказался огромным и необычайно богатым. Красота комнат поражала воображение, но лично я в такой бьющей в глаза роскоши никогда не смогла бы жить... Позолота стен и потолков давила, ущемляя мастерство изумительных фресок, задыхавшихся в сверкающем окружении золотых тонов. Я с наслаждением отдавала дань таланту художников, расписывавших это чудо-жилище, часами любуясь их творениями и искренне восхищаясь тончайшим мастерством. Пока что никто меня не беспокоил, никто ни разу не остановил. Хотя постоянно встречались какие-то люди, которые, встретив, с уважением кланялись и уходили дальше, спеша каждый по своим делам. Несмотря на такую ложную «свободу», всё это настораживало, и каждый новый день приносил всё большую и большую тревогу. Это «спокойствие» не могло продолжаться вечно. И я была почти уверена, что оно обязательно «разродится» какой-то жуткой и болезненной для меня бедой...