ОПР1.
ОПР2. точной верхней гранью и обозначается sup A.
ОПР2’.
УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.
=> выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => 
(т.е. выполнено 1) ОПР2’).
Д-м 2) от противного,т.е. верхняя грань мн-ва А, причем М – не наименьшая верхняя грань – противоречие, т.к.М – верхняя грань => выполнено св-во 2) ОПР2’.
<= выполнено ОПР2’, т.е. 
Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.
Билет № 2 стр2
ОПР3.
ОПР4. точной нижней гранью и обозначается inf A.
ОПР4’.
УТВ. ОПР4. ó ОПР4’
Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.
ТЕОРЕМА!!!
ДОК-ВО!!!
Замечание:
если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => 
Билет №1 «ОГРАНИЧЕННЫЕ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. ПРИМЕРЫ».
ОПР1: мн-во А назыв. ограниченным сверху , если . В этом случае М – верх. грань мн-ва А.
Пример: А ограничено сверху. М = 3 – верхняя грань. Любое число больше 3 – верхняя грань.
ОПР2: мн-во А назыв. ограниченным снизу , если . В этом случае m – нижняя. грань мн-ва А.
Пример:
N – ограниченно снизу. m = 1 – нижняя грань. Любое число меньше 1 будет нижней гранью.
ОПР3: мн-во А назыв. ограниченным , если оно ограниченно сверху и снизу, т.е. .
ОПР3’: мн-во А назыв. ограниченным , если
ДОКАЖЕМ,ЧТО ОПР3 ó ОПР3’
=> Н.Д. ОПР3 => ОПР3’
Имеем: Пусть
Т.е. выполнено ОПР3’
<= Н.Д. ОПР3’ => ОПР3
Имеем: ,т.е. выполнено ОПР3.
ОПР4. Мн – во А называется неограниченным , если
Билет № 3 «ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДВАТЕЛЬНОСТИ».
ОПР.
Если к каждому натур числу ставить в соответствии действит число по некоторому закону, то занумер мн-во чисел 
, наз-ся числовой послед. обозначим числ послед. ; числа - элементы послед.
Пример:
ОПР. Число а наз-ся пределом послед. , если (для любого полож числа )
Обозначается:
Пример:
Обознач: окрестность т.а.
Билет № 4 «Б.М. ПОСЛЕД И ИХ СВ-ВА (2 ТЕОРЕМЫ)».
ОПР. Послед наз-ся бесконечно малой (б.м.), если
Пример: б.м.послед.
СВ-ВА:
ТЕОРЕМА_1 !!! пусть и - б.м. послед, тогда:
1) Послед 
б.м.послед.
2) Послед 
б.м.послед.
ДОК-ВО!!!
1) дано: б.м, т.е.
Д-м, что б.м. послед, т.е.
Выберем и обозначим его .
Т.к. б.м. => для числа 
,
Б.м. => для числа 
Т.к. полож число =>
2) Д-м, что б.м.послед.
Выбираем и обозначим его .
Б.м. => для числа ,
Б.м. => для числа
Билет № 4 стр2
Т.к. полож число => выполняется опр. б.м. для , т.е. б.м.
ТЕОРЕМА_2 !!!
Пусть б.м.послед, огранич. положительная послед, тогда 
б.м.положительная послед.
ОПР. Послед. огранич. если
ДОК-ВО!!!
Фиксируем .
Огранич. =>
Б.м.послед. => для
Следствие:
Пусть б.м.послед. Тогда для 
послед б.м.
Действительно, рассм. послед.
Огр. послед. 
б.м, т.к б.м.
Пример:
Т.О. по ТЕОРЕМЕ_2!!! 
Замечание:
Из ТЕОРЕМЫ_1!!! Следует, что
1) сумма любого конечного числа б.м. послед. есть б.м.послед.
2) произведение любого конечного числа б.м. послед. есть б.м. послед.
Билет № 5 «ББ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВЯЗЬ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ».
ОПР. пусть наз-ся б.б.послед, если
Обозначим
ТЕОРЕМА!!! Пусть б.б.послед., Тогда б.м.послед.
ДОК-ВО!!!
Фиксир. Послед
Т.О. 
б.м. послед.
СВЯЗЬ ББ С БМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ.
Б.б. послед. б.м. послед. Обратная зависимость.
Билет 18 свойства пределов функций(а) единственность предела. Б) ограниченность функций имеющих предел.)
Единственность предела
ТЕОРЕМА!!! Если ф-я имеет предел при К®0, то он единств
ДОК-ВО!!! (от противного)
Пусть 
и 
Рассм 
X
n ¹a " n
Т.к 
Þ для дан {X n } послед-сть 
Þ для данной { X n } послед-сть 
Т.о. 
(f(x)-ч.п-ть)противор.т.к не может иметь
b¹c 2 различн предела Þ в = с
.с
Следствия
Вопрос № 22 2ой замечательный предел
Следствия 
(ан-но а х =lna)
Бил22стр4
Билет 23 свойства бм функции 
билет 24 бб функции и их связсь с бм
Билет26.эквивалентность бм ф-ий.(таблица,т.) 
билет26стр.2 
Билет25.Сравнение бм ф-ий. 
Билет28.Непр-ть ф-ии в точке.2св-ва ф-ии непр-ной в т. 
бил.28
БИЛЕТ 30.классификация точек разрыва функции (определение и примеры)
Пусть f(x) опр. в некот. U(a) (м.б. искл. Саму т.а.). т.а. наз-ся точкой разрыва ф-ии f(x),если f не явл-ся непр-ной в т.а. пусть т.а.-точка разрыва ф-ии f(x).
Опр. 1) т.а.-точка разрыва 1-го рода, если (т.е. сущ. конечные односторонние)
2) Если,кроме того, ,то т.а- точка устранимого разрыва.
3) т.а.- точка разрыва 2-го рода ,если она не явл-ся т.разрыва 1-го рода.
Примеры. 1)y=sgn(x). x=0-т.р.1-го рода,т.к.
2)y= , x=0 –т. устр.раз-ва,т.к.
3) y= x=0 –т.р.2-го рода,т.к.
, 
Точка разрыва 2-го рода.
3).
, 
х=0- точка разрыва 2-го рода.
4).
Не существует точка х=0- точка разрыва 2-го рода.
, . Точка х=0- точка разрыва 2-го рода.
Билет № 2 «ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ ЧИСЛОВОГО МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВ ТОЧНОЙ НИЖНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ГРАНЕЙ МНОЖЕСТВА.
ОПР1. М – верхняя грань мн-ва А ó если .
ОПР2. наименьшая из всех верхних граней мн-ва А, наз-ся точной верхней гранью и обозначается sup A.
ОПР2’.
Число М наз-ся точной вехней гранью мн-ва А, если
УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.
=> выполнено ОПР2, т.е.М = sup A – наименьш.из всех верхних граней => М – верхняя грань мн-ва А => (т.е. выполнено 1) ОПР2’).
Д-м 2) от противного,т.е. верхняя грань мн-ва А, причем М – не наименьшая верхняя грань – противоречие, т.к.М – верхняя грань => выполнено св-во 2) ОПР2’.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Н.д, что М – наименьшая верхняя грань.
Д-м от противного, т.е. Пусть М – не наименьшая верх грань . Обознач. по св-ву 2) для данного противоречие.
Т.к. M’ по выору верх. Грань мн-ва А, сл-но, М – наименьшая верхняя грань мн-ва А => выполняется ОПР2.
Билет № 2 стр2
ОПР3. m – нижняя грань мн-ва А ó если .
ОПР4. наибольшая из всех нижних граней мн-ва А, наз-ся точной нижней гранью и обозначается inf A.
ОПР4’.
Число m наз-ся точной нижней гранью мн-ва А, если
УТВ. ОПР4. ó ОПР4’
Доказывается аналогично с УТВ. ОПР2. ó ОПР2’.
ТЕОРЕМА!!! Всякое непустое ограниченное сверху (снизу) мн-во имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.
ДОК-ВО!!! Непустое мн-во А – огранич. сверху, тогда мн-во А имеет хотя бы одну верхнюю грань. Пусть Y – мн-во всех верхних граней мн-ва А, т.е. , причем мн-во Y непустое, т.к. хотя бы одна верхняя грань у мн-ва А есть.
Т.О. непустые мн-ва А и Y и по св-ву непрерыв. действ. чисел т.е. верхняя грань мн-ва А. М = sup А.
Замечание:
если мн-во А не ограничено сверху => у него нет верхних граней => нет точной верхней грани. В этом случае иногда полагают, что . Аналогично, если мн-во А не огранич. снизу, то иногда полагают, что
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему.
Основная теорема 2.1. Если Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бы один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань.
Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.
Итак, пусть множество ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству
Могут представиться два случая:
1°. Среди элементов множества есть хотя бы одно неотрицательное число. 2°. Все элементы множества являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
1°. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна а первый десятичный знак равен и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа
Докажем, что это число х и является точной верхней гранью множества Для этого достаточно доказать два утверждения: 1) каждый элемент х множества удовлетворяет неравенству 2) каково бы ни было число х, меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству
Докажем сначала утверждение 1). Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества заведомо удовлетворяет неравенству
Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества удовлетворяет неравенству
Предположим, что некоторый неотрицательный элемент не удовлетворяет неравенству Тогда и по правилу упорядочения найдется номер такой, что Но последние соотношения противоречат
тиворечат тому, что в качестве берется наибольший из десятичных знаков тех элементов которых целая часть и первые знаков после запятой соответственно равны
Полученное противоречие доказывает утверждение 1).
Докажем теперь утверждение 2). Пусть х - любое число, удовлетворяющее условию Требуется доказать, что существует хотя бы один элемент х множества удовлетворяющий неравенству
Если число х является отрицательным, то неравенству заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (по предположению хотя бы один такой элемент существует).
Остается рассмотреть случай, когда число х, удовлетворяющее условию является неотрицательным. Пусть Из условия и из правила упорядочения вытекает, что найдется номер такой, что
С другой стороны, из построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера найдется неотрицательный элемент множества такой, у которого целая часть и все первые знаков после запятой те же, что у числа х. Иными словами, для номера найдется элемент х такой, для которого
Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
Ограниченное множество. Точные грани
Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
z n =r n e in j =r n (cos n j + i sin n j). (3)
Формула (3) доказывается индукцией по n .
Умножение комплексных чисел
При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n , докажем ее для n +1. Имеем:
Для заданного найдем, удовлетворяющее уравнению.Другими словами, найдем корень n -ой степени из комплексного числа. Имеем r n e in j =re i y Þ n j=y+2pk, kÎ Z , r= откуда получаем формулы
которые используются для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. В случае если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n . Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный.
Пример.
Размещено на реф.рф
Вычислить. В этом случае, в связи с этим принимает три значения:
Рис. 1.7
Замечание : Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C .
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
Ограниченное сверху множествоE: $b "x ÎE: x £ b.
b - верхняя грань множества :"xÎE:x £ b.
Ограниченное снизумножество: $a "x ÎE : x ³ a.
a - нижняя граньмножества: "xÎE: x ³ a.
Точная верхняя грань множества:b = sup E - ϶ᴛᴏ число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) "x ÎE: x £b.
2) ( нет меньшей ) "e>0 $ x ÎE: x > b- e.
Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E . Ограниченное множествоE: $b "x ÎE: .
Замечание: В случае если b = sup E , то -b = inf E¢ , где E¢ - зеркальное к E множество, E¢= {xÎR: (-x )ÎE }.
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и a ÎE. Обозначим через [a 1 ,b 1 ] отрезок, в случае если в нем есть точки из E. В противном случае через [a 1 ,b 1 ] обозначим отрезок
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) "xÎE: x £ b 1 .
2) E Ç[a 1 ,b 1 ] ¹ Æ .
Эту процедуру повторим для [a 1 ,b 1 ], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a k ,b k ], удовлетворяющих свойствам:
1)"xÎE: x £ b k .
2) E Ç[a k ,b k ] ¹ Æ .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [a k ,b k ]с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой. Через [a k + 1 ,b k + 1 ] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E . В случае если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [a k + 1 ,b k + 1 ] пусть будет правый отрезок. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b k - a k = (b - a )/ 2 k стремятся к 0, в связи с этим существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
1) "x ÎE: x £ c.
Предположим противное: $x ÎE:x>c , возьмем, для него существует тогда, откуда следует b n < x , что противоречит условию x Î[a n ,b n ].
Рис. 1.10
2)"e> 0$xÎE: x > c - e.
Для любого e существует n: b n - a n < e . Выберем какое либо x Î[a n ,b n ] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x£ b n - a n < e . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, найдено требуемое x .
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань .
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство : Пусть имеются две точных грани b 2 , b 1 , b 1 2 . Возьмет e = b 2 - b 1 > 0. Поопределению точной верхней грани (для b 2)$ x ÎE: x > b 2 - e = b 1 , что противоречит тому, что b 1 верхняя грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.
В случае если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, в случае если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.
Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества" 2017, 2018.
Докажем еще одну теорему, которая опирается на свойство непрерывности действительных чисел.
Терема о существовании верхней (нижней) грани. Сначала введем несколько определений.
Определение . Числовое множество X называется ограниченным сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из множества X .
Определение . Числовое множество X называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из множества X .
Определение . Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.
В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом:
множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,
ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и
ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .
Определение. Для любого числа a R неотрицательное число
называется его абсолютной величиной или модулем . Для абсолютных величин чисел справедливо неравенство |a+b|< |a| , которое вытекает из определения модуля числа и из аксиом сложения и порядка.
Теорема 4.3.1 . Числовое множество X ограничено тогда и только тогда, когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множества выполняется неравенство ≤ C.
Доказательство. Пусть множество X ограничено. Положим C =max(m, M) - наибольшее из чисел m и M. Тогда, используя свойства модуля вещественных чисел, получим неравенства x ≤M≤M ≤C и x≥m≥ −m≥ −C , откуда следует, что ≤ C .
Обратно, если выполняется неравенство ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Это и есть требуемое, если положить M = C и m = −C .◄
Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней границей множества . Если M - верхняя граница множества X , то любое число M′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества. Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества X . Обозначим множество верхних границ через . Тогда, ∀x ∈ X и ∀M ∈ будет выполнено неравенство x ≤M , следовательно, по аксиоме непрерывности существует число такое, что x ≤ ≤ M . Это число называется точной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого множества или супремумом множества X и обозначается =sup X . Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество, ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу.
Очевидно, что равенство = sup X равносильно двум условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ , т.е. - верхняя граница множества X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > −ε , т.е. эту границу нельзя улучшить (уменьшить).
Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гранью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство =inf X равносильно условиям:
1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε < + ε .
Если в множестве X есть наибольший элемент , то будем называть его
максимальным элементом множества X и обозначать = max X . Тогда
supX = . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то его будем называть минимальным, обозначать minX и он будет являться инфимумом множества X .
Cформулируем несколько свойств верхних и нижних граней:
Свойство 1 . Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через −X множество {− x| x ∈ X } . Тогда sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .
Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ – вещественное число. Обозначим через λX множество {λx | x ∈ X } . Тогда если λ ≥ 0 , то sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infX и, если λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Свойство 3 . Пусть X1 и X2 - числовые множества. Обозначим через X1+X2 множество { x1+ x2| x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 } и через X1 − X2 множество {x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2} . Тогда sup(X1 + X2)=supX1+supX2 , inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2 и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Свойство 4 . Пусть X1 и X2 - числовые множества, все элементы которых неотрицательны. Тогда sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .
Докажем например первое равенство свойства 3. Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2. Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2 и x ≤ sup X1 + sup X2 , откуда sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число y
Принцип Архимеда и существование верхней и нижней граней можно постулировать как аксиому вместо аксиомы непрерывности, тогда аксиома непрерывности будет следовать из этой новой аксиомы. (Попробуйте доказать самостоятельно).
Ограниченное множество. Точные грани
Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
z n =r n e in j =r n (cos n j + i sin n j). (3)
Формула (3) доказывается индукцией по n .
Умножение комплексных чисел
При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n , докажем ее для n +1. Имеем:
Для заданного найдем, удовлетворяющее уравнению. Другими словами, найдем корень n -ой степени из комплексного числа. Имеем r n e in j =re i y Þ n j=y+2pk, kÎ Z , r= откуда получаем формулы
которые используются для вычисления корня n -ой степени из комплексного числа. Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n . Все они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный.
Пример. Вычислить. В этом случае, поэтому принимает три значения:
Рис. 1.7
Замечание : Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C .
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
Ограниченное сверху множествоE: $b "x ÎE: x £ b.
b - верхняя грань множества :"xÎE:x £ b.
Ограниченное снизумножество: $a "x ÎE : x ³ a.
a - нижняя грань множества: "xÎE: x ³ a.
Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) "x ÎE: x £b.
2) ( нет меньшей ) "e>0 $ x ÎE: x > b- e.
Аналогичноопределяется точная нижняя грань a = inf E . Ограниченное множествоE: $b "x ÎE: .
Замечание: Если b = sup E , то -b = inf E¢ , где E¢ - зеркальное к E множество, E¢= {xÎR: (-x )ÎE }.
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и a ÎE. Обозначим через [a 1 ,b 1 ] отрезок, если в нем есть точки из E. В противном случае через [a 1 ,b 1 ] обозначим отрезок
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) "xÎE: x £ b 1 .
2) E Ç[a 1 ,b 1 ] ¹ Æ .
Эту процедуру повторим для [a 1 ,b 1 ], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a k ,b k ], удовлетворяющих свойствам:
1)"xÎE: x £ b k .
2) E Ç[a k ,b k ] ¹ Æ .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [a k ,b k ] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой. Через [a k + 1 ,b k + 1 ] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E . Если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [a k + 1 ,b k + 1 ] пусть будет правый отрезок. Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков b k - a k = (b - a )/ 2 k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
1) "x ÎE: x £ c.
Предположим противное: $x ÎE:x>c , возьмем, для него существует тогда, откуда следует b n < x , что противоречит условию x Î[a n ,b n ].
Рис. 1.10
2) "e > 0 $xÎE: x > c - e.
Для любого e существует n: b n - a n < e . Выберем какое либо x Î[a n ,b n ] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x£ b n - a n < e . Таким образом, найдено требуемое x .
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань .
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство : Пусть имеются две точных грани b 2 , b 1 , b 1 2 . Возьмет e = b 2 - b 1 > 0. По определению точной верхней грани (для b 2) $ x ÎE: x > b 2 - e = b 1 , что противоречит тому, что b 1 верхняя грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.
Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +¥, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -¥.
Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.