Методы эконометрики. Эконометрика и математическая статистика Предмет и задачи дисциплины "Эконометрика"

Понятие эконометрики

Определение 1

Эконометрика представляет собой науку об экономических измерениях.

В современном понимании эконометрика является научной дисциплиной, которая объединила систему теоретических результатов (приемы, методы и модели) следующих направлений:

экономическая теория;
экономическая статистика;
математико-статистический инструментарий и др.

Замечание 1

Таким образом, эконометрика на основе положений экономической теории и базовых положений экономической статистики дает возможность при использовании необходимого математико-статистического инструментария придать определенное (количественное) выражение качественным (общим) закономерностям.

Практически методы эконометрики применяются для следующих целей:

Вывести экономические законы,
Сформулировать экономические модели, опираясь на знание экономической теории и эмпирических данных,
Оценить неизвестные величины (параметры) рассматриваемых моделей,
Планировать и оценивать точность прогнозов,
Разрабатывать рекомендации в области экономической политики.

Основные методы эконометрики

Можно выделить несколько основных методов эконометрики:

Сводка и группировка информации;
Анализ, который может быть вариационным и дисперсионным;
Применение регрессионного и корреляционного анализа;
Уравнения зависимостей;
Индексы статистики.

Статистическая группировка и сводка

Статистическая сводка представляет собой научно-организованную обработку материалов наблюдения, которая состоит из следующих элементов:

систематизация,
группировка данных,
составление таблиц,
расчет итогов,
вычисление производных показателей (средние и относительные величины).

Статистическая группировка включает в себя процесс образования однородных групп следующими методами:

разделение статистических совокупностей на части,
объединение исследуемых единиц в частные совокупности по соответствующим признакам.

Дисперсия и вариация

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. В эконометрике используют несколько типов дисперсии:

Общая дисперсия, характеризующая вариацию признаков в статистической совокупности в процессе воздействия всех факторов;
Межгрупповая дисперсия, показывающая размеры отклонений средних групповых величин от общей средней величины, характеризуя при этом влияние фактора, который положен в основу данной группировки;
Внутригрупповая дисперсия (остаточная), характеризующая вариацию признака в середине каждой группы.

Замечание 2

Одним из методов эконометрики является использование среднего квадратического отклонения, которое представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности.

Квадратическое отклонение равно корню квадратному от дисперсии. При этом для сравнения изменения одного и того же признака в нескольких совокупностях применяют относительный показатель вариации, который называется коэффициент вариации.

Другие методы эконометрики

Рассмотрим еще несколько методов эконометрики:

Метод наименьших квадратов определяет точные теоретические значения моделей однофакторной регрессии, включая ее графическое отображение;
Статистические индексы, используемые в качестве меры изменения количества, вне зависимости от изменения качественных признаков (цена, себестоимость, производительность труда и др.). Также данные индексы применяют в процессе характеристики качественного признака независимо от изменений в количестве (объем товара в натуральном выражении, численность работников и др.).

Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. От математико-статистического эконометрический подход отличается тем вниманием, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений. Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т.е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. Наиболее распространенными эконометрическими моделями являются производственные функции и модели, описываемые системой одновременных уравнений. Кратко остановимся на них.

Производственные функции

Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики. Рассмотрим производственную функцию, включающую два фактора производства - затраты капитала К и трудовые затраты L, определяющие объем выпуска Q. Тогда можно записать

Определенного уровня выпуска можно достигнуть с помощью различного сочетания капитальных и трудовых затрат. Кривые, описываемые условиями j(K, L) = const., называются изо квантами. Обычно предполагается, что по мере роста значений одной из независимых переменных предельная норма замещения данного фактора производства уменьшается. Поэтому при сохранении постоянного объема производства экономия одного вида затрат, связанная с увеличением затрат другого фактора, постепенно уменьшается. На примере производственной функции Кобба - Дугласа рассмотрим основные выводы, которые можно получить исходя из предложений о том или ином виде производственной функции. Производственная функция Кобба - Дугласа, включающая два фактора производства, имеет вид

где А, ?, ? - параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, К и L, а также от эффективности производственного процесса.

Описываемая производственная функция однозначна и непрерывна (при положительных К и L). Параметры? и? называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Q, если? или? увеличить на 1%.

Рассмотрим поведение функции Q при изменении масштабов производства. Предположим, что затраты каждого фактора производства увеличились в с раз. Тогда новое значение функции будет определяться следующим образом:

При этом, если? + ? = 1, то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если? + ? 1 - убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений К, L производственной функции. Для определения параметров и вида производственной функции необходимо провести дополнительные наблюдения. Как правило, пользуются двумя видами данных - динамическими (временными) рядами и данными одновременных наблюдений (пространственной информацией). Динамические ряды экономических показателей характеризуют поведение одной и той же фирмы во времени, тогда как данные второго вида обычно относятся к одному и тому же моменту, но к различным фирмам. В случаях когда исследователь располагает временным рядом, например годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, возникают трудности, с которыми не пришлось бы столкнуться при работе с пространственными данными. Так, относительные цены со временем становятся иными, а следовательно, меняется и оптимальное сочетание затрат отдельных факторов производства. Кроме того, с течением времени изменяется и уровень административного управления. Однако основные проблемы при использовании временных рядов порождаются последствиями технического прогресса, в результате которого меняются нормы затрат производственных факторов, соотношения, в которых они могут замещать друг друга, и параметры эффективности. Вследствие этого с течением времени могут меняться не только параметры, но и формы производственной функции. Поправка на технический прогресс может быть введена с помощью некоторого временного тренда, включаемого в состав производственной функции. Тогда

Производственная функция Кобба - Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид

В этом выражении параметр?, с помощью которого характеризуется технический прогресс, показывает, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на? процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов и, в частности, от размера новых инвестиций. Такая форма технического прогресса, не связанная с какими-либо затратами труда или капитала, называется «нематеризованным техническим прогрессом». Однако подобный подход не вполне реалистичен, так как новые открытия не могут повлиять на функционирование старых машин, а расширение объема производства возможно только посредством новых инвестиций. При другом подходе к учету технического прогресса для каждой «возрастной группы» капитала строят свою производственную функцию. В этом случае функция Кобба - Дугласа будет иметь вид

где Qt(v) - объем продукции, произведенной за период t на оборудовании, введенном в строй в период v; Lt(v) - трудовые затраты в период t на обслуживание оборудования, введенного в строй в период v, и Кt(v) - основной капитал, введенный в строй в период v и использованный в период t. Параметр v в такой производственной функции отражает состояние технического прогресса. Затем для периода t строится агрегированная производственная функция, представляющая собой зависимость совокупного объема выпускаемой продукции Qt от общих затрат труда Lt, и капитала Кt на момент t. При использовании для построения производственной функции пространственной информации, т.е. данных о нескольких фирмах, соответствующих одному и тому же моменту времени, возникают проблемы другого рода. Так как результаты наблюдений относятся к разным фирмам, то при их использовании предполагается, что поведение всех фирм может быть описано с помощью одной и той же функции. Для успешной экономической интерпретации полученной модели желательно, чтобы все эти фирмы принадлежали одной и той же отрасли. Кроме того, считается, что они располагают примерно одинаковыми производственными возможностями и уровнями административного управления. Рассмотренные выше производственные функции носили детерминированный характер и не учитывали влияния случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению. Поэтому в каждое уравнение, параметры которого предстоит оценить, необходимо ввести и случайную переменную е, которая будет отражать воздействие на процесс производства всех тех факторов, которые не вошли в состав производственной функции в явном виде. Таким образом, в общем виде производственную функцию Кобба - Дугласа можно представить как

Мы получили степенную регрессионную модель, оценки параметров которой А, ? и? можно найти методом наименьших квадратов, лишь прибегнув предварительно к логарифмическому преобразованию. Тогда для i-го наблюдения имеем

где Qi, Кi и Li - соответственно объемы выпуска, капитальных и трудовых затрат для i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., п), а п - объем выборки, т.е. число наблюдений, используемых для получения оценок ln , и - параметров производственной функции. Относительно?i обычно предполагается, что они взаимно независимы между собой и?i ? N(0, ?). Исходя из априорных соображений значения? и? должны удовлетворять условиям 0

Прибегнув к такой форме выражения производственной функции, можно устранить влияние мультиколлинеарности между ln К и ln L. В качестве примера приведем полученную на основе данных о 180 предприятиях, выпускающих верхнюю одежду, модель Кобба - Дугласа:

В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии уравнения. При этом множественный коэффициент детерминации и расчетное значение статистики F-критерия, соответственно равные r2 = 0,46 и F = 12,7, указывают на значимость полученного уравнения. Оценки параметров? и? функции Кобба - Дугласа равны = 0,19 и = 0,95 (1 - 0, 19 + 0,14). Так как = 1,14 > 1, то можно предположить, что происходит некоторое повышение эффективности по мере расширения масштаба производства. Параметры модели показывают также, что при увеличении капитала К на 1% объем выпуска повышается в среднем на 0,19%, а при увеличении трудовых затрат L на 1% объем выпуска возрастает в среднем на 0,95%.

Система одновременных эконометрических уравнений

Систему взаимосвязанных тождеств и регрессионных уравнений, в которой переменные могут одновременно выступать как результирующие в одних уравнениях и как объясняющие в других, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к моменту t, но и к предшествующим моментам. Такие переменные называются лаговыми (запаздывающими). Тождества отражают функциональную связь переменных. Техника оценивания параметров системы эконометрических уравнений имеет свои особенности. Это связано с тем, что в регрессионных уравнениях системы независимые переменные и случайные ошибки оказываются коррелированы между собой. Достаточно хорошо изучены статистические свойства и вопросы оценивания систем линейных уравнений. Будем рассматривать линейную модель следующего вида:

где i = 1, 2, ..., G; t = 1, 2, ..., n;

yit - значение эндогенной (результирующей) переменной в момент t;

xit - значение предопределенной переменной, т.е. экзогенной (объясняющей) переменной в момент t или лаговой эндогенной переменной;

uit -случайные возмущения, имеющие нулевые средние.

Совокупность равенства (53.60) называется системой одновременных уравнений в структурной форме. Наличие априорных ограничений, связанных, например, с тем, что часть коэффициентов считаются равными нулю, обеспечивает возможность статистического оценивания оставшихся. В матричном виде систему уравнений можно представить как

где В - матрица порядка G х G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

Г - матрица порядка G х К, состоящая из коэффициентов экзогенных переменных.

yt = (y1t,…, yGti)T, xt = (x1t, … xkt)T, ?t = (?1t, … ?Gt)T - векторы-столбцы значений соответственно эндогенных и экзогенных переменных, случайных ошибок. Следует отметить, что M?t = 0; ?(?) = M?t?tT = , где En - единичная матрица. Таким образом, если M?t1?t2 = 0 при t1 ? t2 и t1, t2 = 1, 2, ..., п, то случайные ошибки независимы между собой. Если дисперсия ошибки постоянна M? = = 2 и не зависит от t и хt, то это свидетельствует о гомоскедастичности остатков. Условием гетероскедастичности является зависимость значений М? = от t и xt. Умножив все элементы уравнения (53.61) слева на обратную матрицу B-1, получим приведенную форму системы одновременных уравнений:

Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно использовать метод наименьших квадратов. Систему (53.61) одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия: 1)

матрица значений эндогенных переменных

является нижней треугольной матрицей, т.е. ?ij = 0 при j > 1 и?ii = 1;

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. ?ii > 0, ?ij = 0 при i ? j, где i, j = 1, 2, ..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок М?t?tT = ?(?) диагональна;

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению. Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью метода наименьших квадратов, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая приводит к рекурсивной системе уравнений. Предположим, что цены на рынке Pt в день t зависят от объема продаж в предыдущий день qt-1, а объем покупок qt в день t зависит от цены товара в день t. Математически систему уравнений можно представить в виде

Применение метода наименьших квадратов для получения оценок одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений в настоящее время наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению системы в отдельности, и трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для оценивания всей системы в целом. Сущность двухшагового метода состоит в том, что для оценивания параметров структурного уравнения метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.

Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Очевидно, что модель должна отражать взаимосвязь между тремя основными элементами рыночного механизма - спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние указанных элементов в каждый момент можно охарактеризовать с помощью системы объясняющих, экзогенных, переменных.

Система включает общехозяйственные и товарно-рыночные показатели. Общехозяйственные показатели отражают экономические процессы, происходящие в мире и отдельных странах, и дают представление о фоне, на котором происходит развитие рынка. Вторая группа показателей отражает явления, которые характерны для рынка нефти. Особый интерес представляют показатели, обладающие опережающим эффектом (временным лагом) по отношению к динамике эндогенных переменных конъюнктуры рынка нефти.

При выборе экзогенных переменных учитывалось, что состояние рынка нефти в любой момент определяется не только его внутренними факторами, но и состоянием внешней среды, т.е. общехозяйственной конъюнктурой всего мирового хозяйства, и в первую очередь - динамикой воспроизводственного цикла, уровнем деловой активности в отраслях-потребителях, положением в кредитно-денежной и валютно-финансовой сферах экономики.

Завершающим этапом разработки модели исследуемого рынка является ее реализация. На данном этапе математическая модель формируется в общем виде, оцениваются ее параметры, проводится содержательная экономическая интерпретация, выясняются ее статистические и прогностические свойства.

При построении модели использовалась система показателей, основанная на ежеквартальных динамических рядах за последние 15 лет, которая характеризует основные стороны рынка нефти в экономическом, временном и географическом аспектах.

Проведение корреляционного анализа на этапе предварительной обработки данных позволило ограничить круг используемых показателей (первоначально их было более ста), выбрать для дальнейшего анализа такие, которые отражают воздействие основных факторов на рынок нефти и наиболее тесно связаны с динамикой показателей конъюнктуры. При этом решалась также задача исключения влияния мультиколлинеарности.

Эконометрика – измерения в экономике. Слово «эконометрика» введено в 1926 году норвежским экономистом и статистиком, лауреатом Нобелевской премии Рагнаром Фришем. Современное экономическое образование на западе держится на трех китах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике. В централизованной плановой экономике эконометрика была не нужна, поскольку все планы спускались сверху, не возникало необходимости прогнозировать возможные модели экономического поведения в той или иной ситуации, например. Кроме того, эконометрические методы способны были выявить те или иные нежелательные для властей тенденции экономического развития. В настоящее время наши вузы стали перестраиваться в этом направлении. Почему же эконометрика так важна? Ответить на этот вопрос сложно, и, я надеюсь, что к концу нашего курса вы немного на этот вопрос ответите. Чем больше профессионалом становится экономист, тем он больше понимает, что в экономике все зависит от всего. Для того чтобы понять, каким именно образом выражается эта зависимость, и служат эконометрические методы.

Что же за наука эконометрика? Дать определение живой, развивающейся науке, описать ее предмет и метод достаточно трудно. «Эконометрика» – наука об экономических измерениях, но это то же самое, что сказать, что математика – наука о числах. Понятие эконометрика имеет несколько более узкое содержание и назначение, чем это выражено в буквальном переводе и, в то же время, более широкое, чем просто набор статистических инструментов. Современный взгляд на эконометрику отражен в следующем определении:

Эконометрика – научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе

экономической теории;

экономической статистики;

математико-статистического инструментария

придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией. (С. А. Айвазян, В. С. Мхитарян. Прикладная статистика и основы эконометрики.)

Иными словами, эконометрика позволяет на базе положений экономической теории и исходных данных экономической статистики, используя необходимый математико-статистический инструментарий, придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям.

Другие взгляды:

Метод экономического анализа, который объединяет экономическую теорию со статистическими и математическими методами анализа. Это попытка улучшить экономические прогнозы и сделать возможным успешное планирование [экономической] политики. В эконометрике экономические теории выражаются в виде математических соотношений, а затем проверяются эмпирически статистическими методами. Данная система используется, чтобы создать модели народного хозяйства с целью прогнозирования таких важных показателей, как валовой национальный продукт, уровень безработицы, темп инфляции и дефицит федерального бюджета. Эконометрика используется все более широко, несмотря на то, что полученные с помощью нее прогнозы не всегда оказывались достаточно точными.

The Concise Columbia Electronic Encyclopedia, Third Edition. http://www.encyclopedia.com/

«Подобно математической экономике, эконометрика - это скорее нечто, чем занимаются экономисты, чем определенная предметная область. Эконометрика связана с изучением эмпирических данных статистическими методами; цель этого - проверка гипотез и оценка соотношений, предложенных экономической теорией. В то время как математическая экономика занимается чисто теоретическими аспектами экономического анализа, эконометрика пытается подвергнуть проверке теории, которые уже представлены в явной математической форме. Однако часто эти две области экономической науки пересекаются».

из статьи Марка Блауга для Британской энциклопедии

«Проблемы в эконометрики многочисленны и разнообразны. Экономика - это сложный, динамический, многомерный и эволюционирующий объект, поэтому изучать ее трудно. Как общество, так и общественная система изменяются со временем, законы меняются, происходят технологические инновации, поэтому найти в этой системе инварианты непросто. Временные ряды коротки, сильно агрегированы, разнородны, нестационарны, зависят от времени и друг от друга, поэтому мы имеем мало эмпирической информации для изучения. Экономические величины измеряются неточно, подвержены значительным позднейшим исправлениям, а важные переменные часто не измеряются или ненаблюдаемы, поэтому все наши выводы неточны и ненадежны. Экономические теории со временем меняются, соперничающие объяснения сосуществуют друг с другом, и поэтому надежная теоретическая основа для моделей отсутствует. И среди самих эконометристов, по-видимому, нет согласия по поводу того, как следует заниматься их предметом».

из книги Д. Хендри D. F. Hendry, Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995, p.5.

«Существует две вещи, процесс изготовления которых лучше не видеть: сосиски и эконометрические оценки». Э. Лимер E. E. Leamer, "Lets’s Take the Con out of Econometrics," American Economic Review, 73 (1983), 31-43.

В редакционной статье, открывающей первый номер журнала Econometrica (старейшего эконометрического журнала) нобелевский лауреат Р. Фриш писал:

«... Основной целью [Эконометрического общества] будет стимулирование исследований, которые направлены на объединение теоретико- количественного и эмпирико- количественного подходов к экономическим проблемам, и которые проникнуты конструктивными и строгими рассуждениями того рода, которые преобладают в естественных науках.

Но количественный подход к экономике имеет несколько аспектов, и сам по себе ни один из этих аспектов не следует путать с эконометрикой. Таким образом, эконометрика - это ни в коей мере не то же самое, что экономическая статистика. Она также не совпадает и с тем, что мы называем общей экономической теорией, хотя значительная часть этой теории, безусловно, имеет количественный характер. Эконометрику нельзя также рассматривать как синоним применения математики в экономической теории. Опыт показал, что каждая из этих точек зрения, т.е. статистики, экономической теории и математики, является необходимым, но по отдельности не достаточным, условием реального понимания количественных отношений современной экономической жизни. Сила заключается в объединении этих трех элементов. И именно это объединение составляет эконометрику».

Frisch, R. "Editorial," Econometrica, 1 (1933), 1-4.

Согласно же нашему определению, эконометрика – синтез экономической статистики, экономической теории и математики, наука, связанная с эмпирическим выводом экономических законов, синтез экономической статистики, экономической теории и математики. Т. е. мы используем данные или наблюдения для того, чтобы получить количественные зависимости для экономических законов. Заметим, что отсюда уже следует, что для использования эконометрических методов, нам нужны данные или наблюдения состояния или поведения какого-то экономического объекта. Данные эти как правило, не являются экспериментальными, в отличие от других наук, где используются методы мат. статистики – физики, биологии и др. В экономике мы не можем проводить многократные эксперименты, для того, чтобы проверить правильность наших выводов и в этом специфика экономических данных.

Прикладные цели эконометрики.

вывод экономических законов;

формулировка экономических моделей, основываясь на экономической теории и эмпирических данных;

оценка неизвестных величин (параметров) в этих моделях;

прогнозирование и оценка точности прогноза;

Как же экономист добивается поставленных перед собой целей. В ходе эконометрического исследования экономист последовательно проходит несколько этапов. Этапы эконометрического моделирования:

Человек, начинающий изучать экономику, первым делом приходит к мысли, что в экономике некоторые переменные взаимосвязаны. Формирующийся на рынке спрос на товар рассматривается как функция его цены, затраты, связанные с изготовлением некоторого продукта предполагаются зависимыми от объема производства, потребительские расходы связаны с доходом и др. – примеры связей между двумя переменными, причем одна из переменных выступает в роли объясняемой переменной, другая в роли объясняющей. Для большей реалистичности приходится вводить в соотношение другие объясняющие переменные и случайный фактор. Спрос на товар –цена, потребительский доход, цены на конкурирующие, дополняющие и замещающие товары и др. (писать на доске обозначения). Переменную, процесс формирования значений которой нас по каким-то причинам интересует, будем обозначать Y и называть зависимой или объясняемой. Переменные, которые, как мы предполагаем, оказывают влияние на переменную Y , будем обозначать X j и называть независимыми или объясняющими. Значения этих переменных являются для нее внешними, ничего о том, как формируются эти значения

На этом этапе процесс формирования значений объясняемой переменной можно представить в виде следующей схемы:

X 1 ,…X k – выделенные переменные (наиболее существенно влияющие или представляющие для нас определенный интерес).

Группировка отдельных соотношений в модель – формулирование некоторых гипотез относительно того, как должны быть связаны переменные. Гипотезы эти возникают на основе теоретических экономических предпосылок, интуиции, опыта исследователя, его здравого смысла. Сразу же возникает вопрос, как проверить правильность модели? В физике, биологии все просто – проводим эксперимент и смотрим, подтверждают ли его результаты наши гипотезы. В экономике все сложнее. Как в экономике проводить эксперименты -? Мы можем только наблюдать за действительностью.

Таким образом, на этом этапе эконометрист занимается моделированием поведения экономических объектов. Моделирование – упрощение реальности объекта. Задача, искусство моделирования состоит в том, чтобы как можно более лаконично и адекватно именно те стороны реальности, которые интересуют исследователя.

Математическая модель схемы:

Если , то уравнение (1) называютуравнение регрессии Y на X 1 ,…X k . Функция f – регрессионная функция , линия, которую эта функция описывает в пространстве – линия регрессии .

Пример с заработной платой и возрастом – заработная плата с возрастом растет.

Первая задача – перевести эти предположения на математический язык. К сожалению, проделать это единственным образом нельзя. Что означает возрастающая функция. Есть много функций, которые являются возрастающим функциями своих аргументов. Линейные, нелинейные, разные.

Выход – первоначально сформулировать самую простую модель. Введем следующие обозначения для наблюдаемых экономических параметров:

W – Заработная плата человека;

А – возраст человека;

Простейшая модель (линейная):

Уравнение поведения здесь имеют форму точных функциональных зависимостей. Однако, как мы увидим позднее, это нереалистично и нельзя приступать к эконометрической разработке, не пользуясь некоторыми дополнительными стохастическими спецификациями. Мы добавляем в поведенческие уравнения стохастический член. Поскольку ни для каких реальных экономических данных нельзя обеспечить постоянное соблюдение простых соотношений. Кроме того, из всех возможных объясняющих переменных в спецификацию включается лишь небольшое их подмножество, т. е. мы можем говорить только об аппроксимации моделью некоторых, по-видимому достаточно сложных, но неизвестных нам взаимосвязей. Чтобы обеспечить равенство между правой и левой частью, в каждое соотношение приходится вводить случайную ошибку.

В нашей модели рассматриваются зависимости между некоторыми переменными. Переменные, значения которых объясняются в рамках нашей модели, называются эндогенными . Переменные, значения которых нашей моделью не объясняются, являются для нее внешними, ничего о том, как формируются эти значения, мы не знаем, называются экзогенными . Еще одна переменная – лаговое значение эндогенной переменной. Она тоже для нашей модели внешняя. Экзогенные переменные и лаговые значения эндогенных переменных – предопределенные переменные.

В ходе нашего с вами курса мы с вами столкнемся с несколькими типами эконометрических моделей, которые применяются для анализа и прогноза:

а) модели временных рядов. Такие модели объясняют поведение переменной, меняющейся с течением времени, исходя только из его предыдущих значений. К этому классу относятся модели тренда, сезозонности, тренда и сезонности (аддитивная и мультипликативная формы) и др.

б) регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая (объясняемая) переменная представляется в виде функции от независимых (объясняющих) переменных и параметров. В зависимости от вида функции модели бывают линейными и нелинейными. Будем изучать именно их.

в) Системы одновременных уравнений. Ситуация экономическая, поведение экономического объекта описывается системой уравнений (наш пример). Системы состоят из уравнений и тождеств, которые могут содержать в себе объясняемые переменные из других уравнений (поэтому вводят понятия экзогенных и эндогенных переменных).

Пункт 2 носит название спецификация модели. Необходимо:

а) определить цели моделирования;

б) определения списка экзогенных и эндогенных переменных;

в) определение форм зависимостей между переменными;

г) формулировка априорных ограничений на случайный член, что важно для свойств оценок и выбора метода оценивания, и некоторые коэффициенты

Теперь необходимо модель проверить. Как это сделать, если мы не физики и не биологи? Методы эконометрии, позволяющие проводить эмпирическую проверку теоретических утверждений и моделей, выступают мощным инструментом развития самой экономической теории. С их помощью отвергаются теоретические концепции и принимаются новые, более полезные гипотезы. Теоретик, не привлекающий эмпирический материал для проверки своих гипотез и не использующий для этого эконометрические методы, рискует оказаться в мире своих фантазий. Собрать данные – необходимый статистический материал. Здесь нам на помощь приходят методы экономической статистики и статистики вообще. Разговор на эту тему.

Типы данных, с которыми эконометристу приходится сталкиваться при моделировании экономических процессов:

а) cross-sectional data – пространственные данные – набор сведений по разным экономическим объектам в один и тот же момент времени;

б) time-series data – временные ряды – наблюдение одного экономического параметра в разные периоды или моменты времени. Эти данные естественным образом упорядочены во времени. Инфляция, денежная эмиссия (годовые), курс доллара США (ежедневные);

в) panel data – панельные данные – набор сведений по разным экономическим объектам за несколько периодов времени (данные переписи населения).

идентификация модели – статистический анализ модели и, прежде всего – статистическое оценивание параметров. Выбор метода оценивания сюда тоже входит. Зависит от особенностей модели.

верификация модели – сопоставление реальных и модельных данных, проверка оцененной модели с тем, чтобы прийти к выводу о достаточной реалистичности получаемой с ее помощью картины объекта, либо признать необходимость оценки другой спецификации модели.

Итак, эконометрические методы разработаны, в основном, для оценивания параметров экономических моделей. Каждая модель содержит, как правило, несколько уравнений, а в уравнение входит несколько переменных. Начнем с самого простого – парной линейной регрессионной модели.

Эконометрика - это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария получать количественное выражение качественных закономерностей. Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. От математико-статистического эконометрический подход отличается тем вниманием, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений. Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т.е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. Наиболее распространенными эконометрическими моделями являются производственные функции и модели, описываемые системой одновременных уравнений. Кратко остановимся на них.

Производственные функции

Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики. Рассмотрим производственную функцию, включающую два фактора производства - затраты капитала К и трудовые затраты L,определяющие объем выпуска Q. Тогда можно записать

где А, α, β - параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, К и L, а также от эффективности производственного процесса.

При фиксированных значениях К и L более высокое значение имеет та функция Q, которая характеризуется большей величиной параметра А, следовательно, и производственный процесс, описываемый такой функцией, более эффективен. Описываемая производственная функция однозначна и непрерывна (при положительных К и L). Параметры α и β называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Q, если α или β увеличить на 1\%.

При этом, если α + β = 1, то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если α + β 1 - убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений К, L производственной функции. Для определения параметров и вида производственной функции необходимо провести дополнительные наблюдения. Как правило, пользуются двумя видами данных - динамическими (временными) рядами и данными одновременных наблюдений (пространственной информацией). Динамические ряды экономических показателей характеризуют поведение одной и той же фирмы во времени, тогда как данные второго вида обычно относятся к одному и тому же моменту, но к различным фирмам. В случаях когда исследователь располагает временным рядом, например годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, возникают трудности, с которыми не пришлось бы столкнуться при работе с пространственными данными. Так, относительные цены со временем становятся иными, а следовательно, меняется и оптимальное сочетание затрат отдельных факторов производства. Кроме того, с течением времени изменяется и уровень административного управления. Однако основные проблемы при использовании временных рядов порождаются последствиями технического прогресса, в результате которого меняются нормы затрат производственных факторов, соотношения, в которых они могут замещать друг друга, и параметры эффективности. Вследствие этого с течением времени могут меняться не только параметры, но и формы производственной функции. Поправка на технический прогресс может быть введена с помощью некоторого временного тренда, включаемого в состав производственной функции. Тогда

Производственная функция Кобба - Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид

В этом выражении параметр θ, с помощью которого характеризуется технический прогресс, показывает, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на θ процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов и, в частности, от размера новых инвестиций. Такая форма технического прогресса, не связанная с какими-либо затратами труда или капитала, называется «нематеризованным техническим прогрессом». Однако подобный подход не вполне реалистичен, так как новые открытия не могут повлиять на функционирование старых машин, а расширение объема производства возможно только посредством новых инвестиций. При другом подходе к учету технического прогресса для каждой «возрастной группы» капитала строят свою производственную функцию. В этом случае функция Кобба - Дугласа будет иметь вид

Мы получили степенную регрессионную модель, оценки параметров которой А, α и β можно найти методом наименьших квадратов, лишь прибегнув предварительно к логарифмическому преобразованию. Тогда для i-го наблюдения имеем

где Qi, Кi и Li - соответственно объемы выпуска, капитальных и трудовых затрат для i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., п), а п - объем выборки, т.е. число наблюдений, используемых для получения оценок ln , и - параметров производственной функции. Относительно εi обычно предполагается, что они взаимно независимы между собой и εi Î N(0, σ). Исходя из априорных соображений значения α и β должны удовлетворять условиям 0

В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии уравнения. При этом множественный коэффициент детерминации и расчетное значение статистики F-критерия, соответственно равные r2 = 0,46 и F = 12,7, указывают на значимость полученного уравнения. Оценки параметров α и β функции Кобба - Дугласа равны = 0,19 и = 0,95 (1 - 0, 19 + 0,14). Так как = 1,14 > 1, то можно предположить, что происходит некоторое повышение эффективности по мере расширения масштаба производства. Параметры модели показывают также, что при увеличении капитала К на 1\% объем выпуска повышается в среднем на 0,19\%, а при увеличении трудовых затрат L на 1\% объем выпуска возрастает в среднем на 0,95\%.

Система одновременных эконометрических уравнений

где i = 1, 2, ..., G; t = 1, 2, ..., n;

yit - значение эндогенной (результирующей) переменной в момент t;

uit -случайные возмущения, имеющие нулевые средние.

где В - матрица порядка G х G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

Г - матрица порядка G х К, состоящая из коэффициентов экзогенных переменных.

yt = (y1t,…, yGti)T, xt = (x1t, … xkt)T, εt = (ε1t, … εGt)T - векторы-столбцы значений соответственно эндогенных и экзогенных переменных, случайных ошибок. Следует отметить, что Mεt = 0; Σ(ε) = MεtεtT = , где En - единичная матрица. Таким образом, если Mεt1εt2 = 0 при t1 ≠ t2 и t1, t2 = 1, 2, ..., п, то случайные ошибки независимы между собой. Если дисперсия ошибки постоянна Mε = = 2 и не зависит от t и хt, то это свидетельствует о гомоскедастичности остатков. Условием гетероскедастичности является зависимость значений Мε = от t и xt. Умножив все элементы уравнения (53.61) слева на обратную матрицу B-1, получим приведенную форму системы одновременных уравнений:

матрица значений эндогенных переменных

является нижней треугольной матрицей, т.е. βij = 0 при j > 1 и βii = 1;

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. σii > 0, σij = 0 при i ≠ j, где i, j = 1, 2, ..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок МεtεtT = Σ(ε) диагональна;

Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Модель строилась исходя из предпосылки, что величина спроса играет более активную роль, чем факторы предложения и цены. Рекурсивная модель включает линейные регрессионные уравнения для следующих эндогенных переменных в момент t:

y1,t - экспорт нефти из стран ОПЕК;

у2,t - добыча нефти в странах ОПЕК;

y3,t - цена на нефть легкую аравийскую.

В модель вошли предопределенные переменные:

у3,t-1 - цена на нефть легкую аравийскую с лагом в 1 квартал;

x6,t - поставки нефти на переработку в Японию;

х7,t-1 - поставки нефти на переработку в США в момент t-1;

x9,t - коммерческие запасы нефти в странах Западной Европы;

x10,t-1 - коммерческие запасы нефти в США с лагом в 1 квартал;

x12,t - экспорт нефти из бывшего СССР в развитые страны;

x20,t-2 - индекс экспортных цен ООН на топливо с лагом в 2 квартала, а x20,t-3 - в 3 квартала;

y1,t / y2,t - показатель, учитывающий дисбаланс на рынке нефти в момент t.

Эконометрическая модель конъюнктуры рынка нефти имеет следующий вид:

Анализ статистических характеристик модели показал, что в целом она адекватно описывает рынок нефти: все уравнения значимы, объясняют от 67 до 92\% дисперсии эндогенных переменных и характеризуются незначительными отклонениями расчетных значений эндогенных переменных от фактических. Значимость коэффициентов модели проверялась по t-критерию. Расчетные значения tj указаны в скобках под соответствующими коэффициентами.

Построенная модель позволяет анализировать различные ситуации развития рынка нефти.

Контрольные вопросы

Что характеризует парный, частный и множественный коэффициенты корреляции? Сформулируйте их основные свойства.

Какие задачи решаются методами регрессионного анализа?

В чем состоят отрицательные последствия мультиколлинеарности и как можно избавиться от этого негативного явления?

В чем состоит задача компонентного анализа, как интерпретировать главные компоненты и определить их вклад в суммарную дисперсию?

Какие задачи решает кластерный анализ? В чем особенности иерархических кластер-процедур?

Позиция авторов пособия относительно понимания содержания математико-статистического инструментария эконометрики совпадает с классификацией эконометрических методов, предлагаемой ведущими российскими специалистами в области преподавания эконометрики и практического эконометрического анализа социально-экономических процессов, и несколько отличающейся от общепринятой.

Современные достижения в математико-статической науке (особенно в области многомерного статистического анализа), с одной стороны, и заметное расширение круга экономических задач, требующих эконометрического подхода в их решении, – с другой создали все необходимые предпосылки для пересмотра сложившегося взгляда на математико-статистический инструментарий эконометрики в направлении его существенного пополнения.

Традиционный состав математико-статистических методов эконометрики представлен стандартным набором математико-статистических методов, в следующих пяти разделах:

‑ классическая линейная модель множественной регрессии и классический метод наименьших квадратов;

‑ обобщенная линейная модель множественной регрессии и обобщенный метод наименьших квадратов;

‑ некоторые специальные модели регрессии (со стохастическими объясняющими переменными, с переменной структурой, с дискретными зависимыми переменными, нелинейные);

‑ модели и методы статистического анализа временных рядов;

‑ анализ систем одновременных эконометрических уравнений.

Для решения некоторых задачи социально-экономической теории и практики требуются методы прикладной статистики, выходящие за рамки традиционного эконометрического инструментария.

Остановимся на этих задачах более подробно.

Первый тип задач – типологизация и кластеризация социально-экономических объектов. Моделирование и статистический анализ распределения по среднедушевому доходу, выявление основных типов потребительского появления, задачи социально-экономической стратификации общества, межстрановый макроэкономический анализ и многие другие решаются сегодня с привлечением современного аппарата многомерного статистического анализа – методов дискриминантного анализа, моделей расщепления смесей распределений, методов кластерного анализа.

Второй тип задач – построение и анализ целевых функций и интегральных индикаторов. Один их эффективных и достаточно распространенных в теории и практике экономических исследований подходов к описанию и анализу поведения хозяйствующего субъекта (индивидуума, домашнего хозяйства, фирмы, предприятия и т.п.) связан с построением соответствующей целевой функции, которая, по-существу, является некоторой сверткой ряда частных показателей его поведения. Аналогичные задачи возникают при построении и анализе комплексных, агрегатных показателей какого-либо сложного свойства – качества населения, качества жизни, научно-технического уровня производственной системы и т.п. Как правило, при решении подобных задач не удается обойтись привлечением только методов регрессионного анализа и анализа временных рядов. Чаше исследователю приходится обращаться к таким методам снижения размерности факторного пространства, как главные компоненты, факторный анализ, многомерное шкалирование.

Третий тип задач – анализ динамики «состояний» объекта (типологии потребительского поведения семей, социально-экономической и демографической структуры общества и т.п.). Эффективным средством решения задач подобного типа являются модели Марковских цепей.

Этот методы прикладной статистики, приспособленные к специфике экономических и социально-экономических задач, можгут быть отнесены к математико-статистическому инструментарию эконометрики.