Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-
чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.
Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.
Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.
Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).
Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .
Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением
Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение
которое называют каноническим уравнением параболы .
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).
Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).
В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).
Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
Введем прямоугольную систему координат, где . Пусть осьпроходит через фокусF параболы и перпендикулярен директрисе, а ось проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим черезрасстояние между фокусом и директрисой. Тогдаа уравнение директрисы.
Число– называетсяфокальным параметромпараболы. Пусть – текущая точка параболы. Пусть– фокальный радиус точки гиперболы.–расстояние от точки до директрисы. Тогда(чертеж 27 .)
Чертеж 27.
По определению параболы . Следовательно,
Возведем уравнение в квадрат, получим:
(15)
где (15) каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси и проходящей через начало координат.
Исследование свойств параболы
1) Вершина параболы:
Уравнению (15) удовлетворяют числа и, следовательно, парабола проходит через начало координат.
2) Симметрия параболы:
Пусть принадлежит параболе, т.е.верное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси, следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Эксцентриситет параболы:
Определение 4.2. Эксцентриситетом параболы называется число , равное единице.
Так как по определению параболы .
4) Касательная параболы:
Касательная к параболе в точке касания определяется уравнением
Где (чертеж 28. )
Чертеж 28.
Изображение параболы
Чертеж 29.
С использованием ЭСО- Mathcad:
чертеж 30 .)
Чертеж 30 .
a) Построение без использования ИКТ: Для построения параболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Отмечаем на оси ОХ фокус ,так как, проводимтакую, что, и директрису параболы. Выполняем построение окружности в точкеи радиусом равным расстоянию от прямойдо директрисы параболы. Окружность пересекает прямуюв точкахи. Строим параболу так, чтобы она проходила через начало координат и через точкии.(чертеж 31 .)
Чертеж 31.
b)С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: .(чертеж 32 .)
Чертеж 32.
Чтобы обобщить работу по теории линий второго порядка в элементарной математике и для удобства использования информации о линиях при решении задач, заключим все данные о линиях второго порядка в таблицу № 1.
Таблица №1.
Линии второго порядка в элементарной математике
|
Название линии 2-го порядка |
Окружность |
Эллипс |
Гипербола |
Парабола |
|
Характеристические свойства | ||||
|
Уравнение линии | ||||
|
Эксцентриситет | ||||
|
Уравнение касательной в точке (x 0 ; y 0 ) | ||||
|
Фокус | ||||
|
Диаметры линий |
Где k- угловой коэффициент |
Где k угловой коэффициент |
Где k угловой коэффициент |
Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка
Процесс информатизации, охвативший сегодня все стороны жизни современного общества, имеет несколько приоритетных направлений, к которым, безусловно, следует отнести информатизацию образования. Она является первоосновой глобальной рационализации интеллектуальной деятельности человека за счет использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).
Середина 90-х годов прошлого века и до сегодняшнего дня, характеризуется массовостью и доступностью персональных компьютеров в России, широким использованием телекоммуникаций, что позволяет внедрять разрабатываемые информационные технологии обучения в образовательный процесс, совершенствуя и модернизируя его, улучшая качество знаний, повышая мотивацию к обучению, максимально используя принцип индивидуализации обучения. Информационные технологии обучения являются необходимым инструментом на данном этапе информатизации образования.
Информационные технологии не только облегчают доступ к информации и открывают возможности вариативности учебной деятельности, ее индивидуализации и дифференциации, но и позволяют по-новому организовать взаимодействие всех субъектов обучения, построить образовательную систему, в которой ученик был бы активным и равноправным участником образовательной деятельности.
Формирование новых информационных технологий в рамках предметных уроков стимулируют потребность в создании новых программно-методических комплексов направленных на качественное повышение эффективности урока. Поэтому, для успешного и целенаправленного использования в учебном процессе средств информационных технологий, преподаватели должны знать общее описание принципов функционирования и дидактические возможности программно- прикладных средств, а затем, исходя из своего опыта и рекомендаций, "встраивать" их в учебный процесс.
Изучение математики в настоящее время сопряжено с целым рядом особенностей и трудностей развития школьного образования в нашей стране.
Появился так называемый кризис математического образования. Причины его состоят в следующем:
В изменении приоритетов в обществе и в науке, то есть в настоящее время идет рост приоритета гуманитарных наук;
В сокращении количества уроков математики в школе;
В оторванности содержания математического образования от жизни;
В малом воздействии на чувства и эмоции учащихся.
Сегодня остается открытым вопрос: «Как же наиболее эффективно использовать потенциальные возможности современных информационных и коммуникационных технологий при обучении школьников, в том числе, при обучении математике?».
Компьютер – отличный помощник в изучении такой темы, как “Квадратичная функция”, потому что, используя специальные программы можно строить графики различных функций, исследовать функцию, легко определить координаты точек пересечения, вычислить площади замкнутых фигур и т.д. Например, на уроке алгебры в 9-м классе, посвящённом преобразованию графика (растяжения, сжатия, переносы координатных осей) можно увидеть лишь застывший результат построения, а на экране монитора прослеживается вся динамика последовательных действий учителя и ученика.
Компьютер, как ни одно техническое средство, точно, наглядно и увлекательно открывает перед учеником идеальные математические модели, т.е. то, к чему должен стремиться ребенок в своих практических действиях.
Сколько трудностей приходится испытывать учителю математики для того, чтобы убедить учеников в том, что касательная к графику квадратичной функции в точке касания практически сливается с графиком функции. На компьютере этот факт продемонстрировать очень просто- достаточно сузить интервал по оси Ох и обнаружить, что в очень маленькой окрестности точки касания график функции и касательная совпадают. Все эти действия происходят на глазах у учеников. Этот пример дает толчок к активным размышлениям на уроке. Использование компьютера возможно как в ходе объяснения нового материала на уроке, так и на этапе контроля. При помощи этих программ, например «My Test», ученик самостоятельно может проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Программы удобны своей универсальностью. Они могут быть использованы и для самоконтроля, и для контроля со стороны учителя.
Разумная интеграция математики и компьютерных технологий позволит богаче и глубже взглянуть на процесс решения задачи, ход осмысления математических закономерностей. Кроме того, компьютер поможет сформировать графическую, математическую и мыслительную культуру учеников, а также с помощью компьютера можно подготовить дидактические материалы: карточки, листы опроса, тесты и др. При этом давать возможность ребятам самостоятельно разрабатывать тесты по теме, в ходе чего развивается интерес и творческий подход.
Таким образом, есть необходимость в применении по возможности компьютера на уроках математики более широко, чем есть. Использование информационных технологий будет способствовать повышению качества знаний, расширит горизонты изучения квадратичной функции, а значит, поможет найти новые перспективы для поддержания интереса учащихся к предмету и к теме, а значит и к лучшему, более внимательному отношению к нему. Сегодня современные информационные технологии становятся важнейшим инструментом модернизации школы в целом – от управления до воспитания и обеспечения доступности образования.
III уровень
3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе
1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);
2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;
3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы:
Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.
 |
Величина 
где M
(x
, y
) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом
, прямая D
: x
= –p
/2 – директрисой
(она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина 
называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:
 |
Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
где t – произвольное действительное число.
Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:
Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).
 |
2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).
Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.
Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:
x 2 + 8x – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;
(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;
(x + 4) 2 – 16(y + 3).
В результате получим
(x + 4) 2 = 16(y + 3).
Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).
Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение
(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Определите параметры параболы и построить ее:
1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;
3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .
1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;
2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).
3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.
1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.
II уровень
2.1. Определить тип и параметры кривой.
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 17. Парабола.
Глава 17. Парабола.
п.1. Основные определения.
Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.
Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.
Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.
По
определению параболы, точка М является
точкой параболы тогда и только тогда,
когда
.
По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.
Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.
Обозначение:
.
Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.
Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.
Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.
В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.
Ось
ординат проводим через середину отрезка
FNперпендикулярно фокальной
оси. Тогда фокус имеет координаты
.
п.2. Каноническое уравнение параболы.
Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:
.
(1)
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.
Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.
1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.
.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:
.
Из
рисунка 2 мы видим, что точка параболы
не может иметь отрицательной абсциссы,
т.к. в этом случае
.
Поэтому
и
.
Отсюда получаем равенство
.
Возведем обе части равенства в квадрат:
и после сокращения получаем:
.
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.
Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:
,
откуда, по определению параболы, следует,
что точка М(х, у) лежит на параболе.
Здесь
мы воспользовались тем, что из равенства
(1) следует, что
и, следовательно,
.
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.
Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.
п.3. Свойства параболы.
Теорема. (Свойства параболы.)
1. В канонической для параболы системе координат, в полосе
нет точек параболы.
2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.
3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.
Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.
3)
Пусть М(х, у) – произвольная точка
параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и,
следовательно, эта точка также является
точкой параболы, откуда и следует
утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.4. Построение параболы.
В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции
,
а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.
Строим график этой
функции, учитывая, что данная функция
является возрастающей на промежутке
.
п.5. Фокальный параметр гиперболы.
Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.
Доказательство.
Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют
уравнению параболы:
.
Отсюда
находим
,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема доказана.
п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.
Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.
Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:
а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;
б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;
в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.
Эта
постоянная величина, о которой идет
речь в определении, называется
эксцентриситетом и обозначается
,
расстояние от данной точки до фокуса
есть ее фокальный радиусr,
расстояние от данной точки до директрисы
обозначается черезd.
Из
определения следует, что те точки
плоскости, для которых отношение
есть величина постоянная образуют
эллипс, гиперболу или параболу,
взависимости от величины этого отношения.
Если
,
то мы получаем эллипс, если
,
то мы получаем гиперболу, если
,
то мы получаем параболу.
п.7. Касательная к параболе.
Теорема.
Пусть
– произвольная точка параболы
.
Тогда уравнение касательной к этой параболе
в
точке
имеет вид:
.
(2)
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:
и
ее можно рассматривать как график
функции
.
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
в точке
:
где
– значение производной данной функции
в точке
.
Найдем производную
функции
и ее значение в точке касания:
,
.
Здесь
мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее
координаты удовлетворяют уравнению
параболы, т.е.
.
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
,
откуда получаем:
.
Так
как точка
принадлежит параболе, то ее координаты
удовлетворяют ее уравнению, т.е.
,
откуда получаем
или
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
п.8. Зеркальное свойство параболы.
Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.
Доказательство.
Пусть
– точка касания,
– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения
касательной с осью абсцисс. Ордината
точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной,
следовательно, ее координаты удовлетворяют
уравнению касательной. Подставляя
координаты точкиNв
уравнение касательной, получаем:
,
откуда
абсцисса точки Nравна
.
Рассмотрим
треугольник
.
Докажем, что он равнобедренный.
Действительно,
.
Здесь мы воспользовались равенством,
полученным при выводе канонического
уравнения параболы:
.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда
,
ч.т.д.
Теорема доказана.
Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.
Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.
Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.
Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.
Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".
Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.
Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")
п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).
Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.
Теорема.
Пусть
– полярные координаты точки кривой
(эллипса, гиперболы или параболы). Тогда
,
(3)
где
р – фокальный параметр кривой,
– эксцентриситет кривой (для параболы
полагаем
).
Доказательство.
Пусть Q– проекция точки
М на фокальную ось кривой, В – на
директрису кривой. Пусть полярный угол
точки М является тупым, как на рисунке
5. Тогда
,
где
по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и
.
(4)
С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение
(5)
равно
эксцентриситету соответствующей кривой
для любой точки М на данной кривой. Пусть
точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром
к фокальной оси, воостановленного в
фокусеFи А – ее проекция
на директрису. Тогда
,
откуда
.
Но
,
откуда
и, подставляя в
равенство (4), получаем
или, учитывая равенство (5),
откуда и следует доказываемое равенство (3).
Заметим, что
равенство (4) остается верным и в случае,
когда полярный угол
точки М является острым, т.к. в этом
случае точкаQнаходится
правее фокусаFи
Теорема доказана.
Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.