Векторное пространство. Подпространства линейного пространства определение и примеры

Определение 6.1. Подпространством L n -мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R .

Другими словами, L называется подпространством пространства R , если из x, y ∈L следует, что x+y ∈L и если x ∈L , то λ x ∈L , где λ - любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R , состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R . Эти подпространства называются тривиальными или несобственными .

Подпространство n -мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M - два подпространства пространства R .

Cуммой L +M называется множество векторов x+y , где x ∈L и y ∈M . Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M , следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R ).

Пересечением L ∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M . Пусть G g -мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G ⊂L и G ⊂M , следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M . Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M . Покажем, что векторы

принадлежит подпространству G=L∩M . С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G :

(6.5)

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y , где x ∈L, y ∈M . В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y - линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F . Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M .

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m . Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M , если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z , где y ∈ L и z ∈M .

Прямая сумма обозначается L ⊕M . Говорят, что если F=L ⊕M , то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M .

Теорема 6.2. Для того, чтобы n -мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M , достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M .

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

(6.13)

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L , а правая часть - вектором подпространства M и L ∩M =0 , то

Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V , если

1) \mathbf{u}+\mathbf{v}\in L~~\forall \mathbf{u,v}\in L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

2) \lambda \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{v}\in L и любого числа \lambda (подпространство замкнуто по отношению к операции умножения вектора на число).

Для указания линейного подпространства будем использовать обозначение L\triangleleft V , а слово "линейное" опускать для краткости.

Замечания 8.7

1. Условия 1, 2 в определении можно заменить одним условием: \lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}\in L~~ \forall \mathbf{u,v}\in L и любых чисел \lambda и \mu . Разумеется, что здесь и в определении речь идет о произвольных числах из того числового поля, над которым определено пространство V .

2. В любом линейном пространстве V имеются два линейных подпространства:

а) само пространство V , т.е. V\triangleleft V ;

б) нулевое подпространство \{\mathbf{o}\} , состоящее из одного нулевого вектора пространства V , т.е. . Эти подпространства называются несобственными, а все остальные - собственными.

3. Любое подпространство L линейного пространства V является его подмножеством: L\triangleleft V~\Rightarrow~L\subset V , но не всякое подмножество M\subset V является линейным подпространством, так как оно может оказаться незамкнутым по отношению к линейным операциям.

4. Подпространство L линейного пространства V само является линейным пространством с теми же операциями сложения векторов и умножения вектора на число, что и в пространстве V , поскольку для них выполняются аксиомы 1-8. Поэтому можно говорить о размерности подпространства, его базисе и т.п.

5. Размерность любого подпространства L линейного пространства V не превосходит размерности пространства V\colon\,\dim{L}\leqslant \dim{V} . Если же размерность подпространства L\triangleleft V равна размерности конечномерного пространства V (\dim{L}=\dim{V}) , то подпространство совпадает с самим пространством: L=V .

Это следует из теоремы 8.2 (о дополнении системы векторов до базиса). Действительно, взяв базис подпространства L , будем дополнять его до базиса пространства V . Если это возможно, то \dim{L}<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Для любого подмножества M линейного пространства V линейная оболочка является подпространством V и M\subset \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V .

В самом деле, если M=\varnothing (пустое множество), то по определению \operatorname{Lin}(M)=\{\mathbf{o}\} , т.е. является нулевым подпространством и \varnothing\subset\{\mathbf{o}\}\triangleleft V . Пусть M\ne\varnothing . Нужно доказать, что множество \operatorname{Lin}(M) замкнуто по отношению к операциям сложения его элементов и умножения его элементов на число. Напомним, что элементами линейной оболочки \operatorname{Lin}(M) служат линейные комбинации векторов из M . Так как линейная комбинация линейных комбинаций векторов является их линейной комбинацией, то, учитывая пункт 1, делаем вывод, что \operatorname{Lin}(M) является подпространством V , т.е. \operatorname{Lin}(M)\triangleleft V . Включение M\subset \operatorname{Lin}(M) - очевидное, так как любой вектор \mathbf{v}\in M можно представить как линейную комбинацию 1\cdot\mathbf{v} , т.е. как элемент множества \operatorname{Lin}(M) .

7. Линейная оболочка \operatorname{Lin}(L) подпространства L\triangleleft V совпадает с подпространством L , т.е. .

Действительно, так как линейное подпространство L содержит все возможные линейные комбинации своих векторов, то \operatorname{Lin}(L)\subset L . Противоположное включение (L\subset \operatorname{Lin}(L)) следует из пункта 6. Значит, \operatorname{Lin}(L)=L .

Примеры линейных подпространств

Укажем некоторые подпространства линейных пространств, примеры которых рассматривались ранее. Перечислить все подпространства линейного пространства невозможно, за исключением тривиальных случаев.

1. Пространство \{\mathbf{o}\} , состоящее из одного нулевого вектора пространства V , является подпространством, т.е. \{\mathbf{o}\}\triangleleft V .

2. Пусть, как и ранее, V_1,\,V_2,\,V_3 - множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно. Если прямая принадлежит плоскости, то V_1\triangleleft V_2\triangleleft V_3 . Напротив, множество единичных векторов не является линейным подпространством, так как при умножении вектора на число, не равное единице, получаем вектор, не принадлежащий множеству.

3. В n-мерном арифметическом пространстве \mathbb{R}^n рассмотрим множество L "полунулевых" столбцов вида x=\begin{pmatrix} x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end{pmatrix}^T с последними (n-m) элементами, равными нулю. Сумма "полунулевых" столбцов является столбцом того же вида, т.е. операция сложения замкнута в L . Умножение "полунулевого" столбца на число дает "полунулевой" столбец, т.е. операция умножения на число замкнута в L . Поэтому L\triangleleft \mathbb{R}^n , причем \dim{L}=m . Напротив, подмножество ненулевых столбцов \mathbb{R}^n не является линейным подпространством, так как при умножении на нуль получается нулевой столбец, который не принадлежит рассматриваемому множеству. Примеры других подпространств \mathbb{R}^n приводятся в следующем пункте.

4. Пространство \{Ax=o\} решений однородной системы уравнений с n неизвестными является подпространством n-мерного арифметического пространства \mathbb{R}^n . Размерность этого подпространства определяется матрицей системы: \dim\{Ax=o\}=n-\operatorname{rg}A .

Множество \{Ax=b\} решений неоднородной системы (при b\ne o ) не является подпространством \mathbb{R}^n , так как сумма двух решений неоднородной; системы не будет решением той же системы.

5. В пространстве M_{n\times n} квадратных матриц порядка л рассмотрим два подмножества: множество симметрических матриц и множество M_{n\times n}^{\text{kos}} кососимметрических матриц. Сумма симметрических матриц является симметрической матрицей, т.е. операция сложения замкнута в M_{n\times n}^{\text{sim}} . Умножение симметрической матрицы на число также не нарушает симметричность, т.е. операция умножения матрицы на число замкнута в M_{n\times n}^{\text{sim}} . Следовательно, множество симметрических матриц является под пространством пространства квадратных матриц, т.е. M_{n\times n}^{\text{sim}}\triangleleft M_{n\times n} . Нетрудно найти размерность этого подпространства. Стандартный базис образуют: л матриц с единственным ненулевым (равным единице) элементом на глав ной диагонали: a_{ii}=1~ i=1,\ldots,n , а также матрицы с двумя ненулевыми (равными единице) элементами, симметричными относительно главной диагонали: a_{ij}=a_{ji}=1, i=1,\ldots,n, j=i,i+1,\ldots,n . Всего в базисе будет {n+(n-1)+\ldots+2+1= \frac{n(n+1)}{2}} матриц. Следовательно, \dim{M_{n\times n}^{\text{sim}}}= \frac{n(n+1)}{2} . Аналогично получаем, что M_{n\times n}^{\text{kos}}\triangleleft M_{n\times n} и \dim{M_{n\times n}^{\text{kos}}}= \frac{n(n+1)}{2} .

Множество вырожденных квадратных матриц n-го порядка не является подпространством M_{n\times n} , так как сумма двух вырожденных матриц может оказаться невырожденной матрицей, например, в пространстве M_{2\times2}:

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.

6. В пространстве многочленов P(\mathbb{R}) с действительными коэффициентами можно указать естественную цепочку подпространств

P_0(\mathbb{R})\triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft P_2(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P(\mathbb{R}).

Множество четных многочленов (p(-x)=p(x)) является линейным подпространством P(\mathbb{R}) , так как сумма четных многочленов и произведение четно го многочлена на число будут четными многочленами. Множество нечетных многочленов (p(-x)=-p(x)) также является линейным пространством. Множество многочленов, имеющих действительные корни, не является линейным подпространством, так как при сложении таких двух многочленов может получиться многочлен, который не имеет действительных корней, например, (x^2-x)+(x+1)=x^2+1 .

7. В пространстве C(\mathbb{R}) можно указать естественную цепочку подпространств:

C(\mathbb{R})\triangleright C^1(\mathbb{R})\triangleright C^2(\mathbb{R}) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb{R})\triangleright\ldots

Многочлены из P(\mathbb{R}) можно рассматривать как функции, определенные на \mathbb{R} . Так как многочлен является непрерывной функцией вместе со своими производными любого порядка, можно записать: P(\mathbb{R})\triangleleft C(\mathbb{R}) и P_n(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R}) \forall m,n\in\mathbb{N} . Пространство тригонометрических двучленов T_{\omega} (\mathbb{R}) является подпространством C^m(\mathbb{R}) , так как производные любого порядка функции f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t непрерывны, т.е. T_{\omega}(\mathbb{R})\triangleleft C^m(\mathbb{R}) \forall m\in \mathbb{N} . Множество непрерывных периодических функций не является подпространством C(\mathbb{R}) , так как сумма двух периодических функций может оказаться непериодической функцией, например, \sin{t}+\sin(\pi t) .

В любом линейном пространстве можно выделить такое подмножество векторов, которое относительно операций из само является линейным пространством. Это можно делать различными способами, и структура таких подмножеств несет важную информацию о самом линейном пространстве .

Определение 2.1. Подмножество линейного пространства называют линейным подпространством, если выполнены следующие два условия:

Определение 2.1 фактически говорит о том, что линейное подпространство - это любое подмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, т.е. применение линейных операций к векторам, принадлежащим этому подмножеству, не выводит результат за пределы подмножества. Покажем, что линейное подпространство Н как самостоятельный объект является линейным пространством относительно операций, заданных в объемлющем линейном пространстве . В самом деле, эти операции определены для любых элементов множества , а значит, и для элементов подмножестваН . Определение 2.1 фактически требует, чтобы для элементов из Н результат выполнения операций также принадлежал H . Поэтому операции, заданные в , можно рассматривать как операции и на более узком множествеH . Для этих операций на множестве Н аксиомы линейного пространства а)-б) и д)-з) выполнены в силу того, что они справедливы в . Кроме того, выполнены и две оставшиеся аксиомы, поскольку, согласно определению 2.1, если то:

1) и 0- нулевой вектор в Н ;

2) .

В любом линейном пространстве всегда имеются два линейных подпространства: само линейное пространство и нулевое подпространство {0}, состоящее из единственного элемента 0. Эти линейные подпространства называют несобственными, в то время как все остальные линейные подпространства называют собственными. Приведем примеры собственных линейных подпространств.

Пример 2.1. В линейном пространстве свободных векторов трехмерного пространства линейное подпространство образуют:

а) все векторы, параллельные данной плоскости;

б) все векторы, параллельные данной прямой.

Это вытекает из следующих соображений. Из определения суммы свободных векторов следует, что два вектора и их суммакомпланарны (рис. 2.1, а). Поэтому, еслиипараллельны данной плоскости, то этой же плоскости будет параллельна и их сумма. Тем самым установлено, что для случая а) выполнено условие 1) определения 2.1. Если вектор умножить на число, получится вектор, коллинеарный исходному (рис. 2.1,6). Это доказывает выполнение условия 2) определения 2.1. Случай б) обосновывается аналогично.

Линейное пространство дает наглядное представление о том, что такое линейное подпространство. Действительно, фиксируем некоторую точку в пространстве. Тогда различным плоскостям и различным прямым, проходящим через эту точку, будут соответствовать различные линейные подпространства из(рис. 2.2).

Не столь очевидно, что в нет других собственных подпространств. Если в линейном подпространствеН в нет ненулевых векторов, тоН - нулевое линейное подпространство, являющееся несобственным. Если в Н есть ненулевой вектор, а любые два вектора из Н коллинеарны, то все векторы этого линейного подпространства параллельны некоторой прямой, проходящей через фиксированную точку. Следовательно, Н совпадает с одним из линейных подпространств, описанных в случае б). Если в Н есть два неколлинеарных вектора, а любые три вектора компланарны, то все векторы такого линейного подпространства параллельны некоторой плоскости, проходящей через фиксированную точку. Это случай а). Пусть в линейном подпространстве Н существуют три некомпланарных вектора. Тогда они образуют базис в . Любой свободный вектор можно представить в виде линейной комбинации этих векторов. Значит, все свободные векторы попадают в линейное подпространство Н , и поэтому оно совпадает с . В этом случае мы получаем несобственное линейное подпространство. Итак, в все собственные подпространства можно представить в виде плоскостей или прямых, проходящих через фиксированную точку.

Пример 2.2. Любое решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) от п переменных можно рассматривать как вектор в линейном арифметическом пространств . Множество всех таких векторов является линейным подпространством в . В самом деле, решения однородной СЛАУ можно покомпонентно складывать и умножать на действительные числа, т.е. по правилам сложения векторов из . Результат операции снова будет решением однородной СЛАУ. Значит, оба условия определения линейного подпространства выполнены.

Уравнение имеет множество решений, которое является линейным подпространством в.Но это же уравнение можно рассматривать как уравнение плоскости в некоторой прямоугольной системе координат . Плоскость проходит через начало координат, а радиус-векторы всех точек плоскости образуют двумерное подпространство в линейном пространстве

Множество решений однородной СЛАУ

также образует линейное подпространство в . В то же время эту систему можно рассматривать как общие уравнения прямой в пространстве, заданные в некоторой прямоугольной системе координат .. Эта прямая проходит через начало координат, а множество радиус-векторов всех ее точек образует одномерное подпространство в .

Пример 2.3. В линейном пространстве квадратных матриц порядкап линейное подпространство образуют:

а) все симметрические матрицы;

б) все кососимметрические матрицы;

в) все верхние (нижние) треугольные матрицы.

При сложении таких матриц или умножении на число мы получаем матрицу того же вида. Напротив, подмножество вырожденных матриц не является линейным подпространством, так как сумма двух вырожденных матриц может быть невырожденной матрицей:

Пример 2.4. В линейном пространстве функций, непрерывных на отрезке , можно выделить следующие линейные подпространства:

а) множество функций, непрерывных на отрезке и непрерывно дифференцируемых в интервале (0,1) (в основе этого утверждения лежат свойства дифференцируемых функций: сумма дифференцируемых функций есть дифференцируемая функция, произведение дифференцируемой функции на число есть дифференцируемая функция);

б) множество всех многочленов;

в) множество всех многочленов степени не выше n .

Непустое подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V , если

1) \mathbf{u}+\mathbf{v}\in L~~\forall \mathbf{u,v}\in L (подпространство замкнуто по отношению к операции сложения);

Замечания 8.7

2. В любом линейном пространстве V имеются два линейных подпространства:

а) само пространство V , т.е. V\triangleleft V ;

7. Линейная оболочка \operatorname{Lin}(L) подпространства L\triangleleft V совпадает с подпространством L , т.е. .

Примеры линейных подпространств

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.

P_0(\mathbb{R})\triangleleft P_1(\mathbb{R})\triangleleft P_2(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P_n(\mathbb{R})\triangleleft \ldots \triangleleft P(\mathbb{R}).

7. В пространстве C(\mathbb{R}) можно указать естественную цепочку подпространств:

C(\mathbb{R})\triangleright C^1(\mathbb{R})\triangleright C^2(\mathbb{R}) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb{R})\triangleright\ldots

Ве́кторное (или лине́йное ) простра́нство - математическая структура , которая представляет собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам. Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство , векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных (англ. ) , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев - подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение [ | ]

Линейное , или векторное пространство V (F) {\displaystyle V\left(F\right)} над полем F {\displaystyle F} - это упорядоченная четвёрка (V , F , + , ⋅) {\displaystyle (V,F,+,\cdot)} , где

V {\displaystyle V} - непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами ;
F {\displaystyle F} - поле , элементы которого называются скалярами ;
Определена операция сложения векторов V × V → V {\displaystyle V\times V\to V} , сопоставляющая каждой паре элементов x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } множества V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} , называемый их суммой и обозначаемый x + y {\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} } ;
Определена операция умножения векторов на скаляры F × V → V {\displaystyle F\times V\to V} , сопоставляющая каждому элементу λ {\displaystyle \lambda } поля F {\displaystyle F} и каждому элементу x {\displaystyle \mathbf {x} } множества V {\displaystyle V} единственный элемент множества V {\displaystyle V} , обозначаемый λ ⋅ x {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} } или λ x {\displaystyle \lambda \mathbf {x} } ;

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным - над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства [ | ]

Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
Нейтральный элемент 0 ∈ V {\displaystyle \mathbf {0} \in V}
0 ⋅ x = 0 {\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} } для любого .
Для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} противоположный элемент − x ∈ V {\displaystyle -\mathbf {x} \in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.
1 ⋅ x = x {\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} } для любого x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
(− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) {\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x})=-(\alpha \mathbf {x})} для любых и x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} .
α ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} } для любого α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} .

Связанные определения и свойства [ | ]

Подпространство [ | ]

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K {\displaystyle K} линейного пространства V {\displaystyle V} такое, что K {\displaystyle K} само является линейным пространством по отношению к определенным в V {\displaystyle V} действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как L a t (V) {\displaystyle \mathrm {Lat} (V)} . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

Для всяких векторов x , y ∈ K {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K} вектор α x + β y {\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} } также принадлежал K {\displaystyle K} для любых α , β ∈ F {\displaystyle \alpha ,\beta \in F} .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными .

Свойства подпространств [ | ]

Линейные комбинации [ | ]

Конечная сумма вида

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}

Линейная комбинация называется:

Базис. Размерность [ | ]

Векторы x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}} называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 , | α 1 | + | α 2 | + … + | α n | ≠ 0. {\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} ,\quad \ |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|+\ldots +|\alpha _{n}|\neq 0.}

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V {\displaystyle V} называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Свойства базиса:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n {\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}} .

Линейная оболочка [ | ]

Линейная оболочка подмножества X {\displaystyle X} линейного пространства V {\displaystyle V} - пересечение всех подпространств V {\displaystyle V} , содержащих X {\displaystyle X} .

Линейная оболочка является подпространством V {\displaystyle V} .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X {\displaystyle X} . Говорят также, что линейная оболочка V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} - пространство, натянутое на множество X {\displaystyle X} .

Линейная оболочка V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X {\displaystyle X} . В частности, если X {\displaystyle X} - конечное множество, то V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} состоит из всех линейных комбинаций элементов X {\displaystyle X} . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если X {\displaystyle X} - линейно независимое множество, то оно является базисом V (X) {\displaystyle {\mathcal {V}}(X)} , 1980. - 454 с.