Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D (X ) = npq.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину X - число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:
X = Х 1 + X 2 + …+ Х п,
где Х 1 - число наступлений события в первом испытании, Х 2 - во втором, ..., Х п - в п- м.
Величины Х 1 , Х 2 , ..., Х п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):
D (X ) = D (X 1) + D (X 2)+ ...+D (Х п ). (*)
Вычислим дисперсию X 1 по формуле
D (X 1)=M ( )- [M (X 1)] 2 . (**)
Величина Х 1 -число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х 1)=р .
Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1 2 c вероятностью р и О 2 с вероятностью q:
M ( )= 1 2 *p+ 0 2 *q=p.
Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем
D (X 1)=p-p 2 =p (1-p )=pq
Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим
D (X ) = npq.
Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.
Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений события в этих испытаниях.
Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события
q = 1- 0, 6 = 0, 4.
Искомая дисперсия
D (X ) = npq = 10 0, 6 0, 4 = 2, 4.
Среднее квадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:
Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(X )совпадает сразмерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается влинейных метрах, то а (X )будет выражаться также влинейных метрах, a D (X )- в квадратных метрах.
Пример. Случайная величина X задана законом распределения
| X | |||
| p | 0, 1 | 0, 4 | 0, 5 |
Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).
Решение. Найдем математическое ожидание X:
М (Х ) = 2* 0, 1 + 3* 0, 4+ 10* 0, 5 = 6, 4.
Найдем математическое ожидание X 2 :
М (Х 2) = 2 2 * 0, 1+ 3 2 * 0, 4+ 10 2 * 0, 5 = 54.
Найдем дисперсию:
D (X )= М (X 2) - [М (X )] 2 = 54 - 6, 4 2 = 13, 04.
Искомое среднее квадратическое отклонение
s(X)= =
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин. Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:
1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:
2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):
где n — частота (повторяемость фактора Х)
Пример нахождения дисперсии
На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение
Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию
Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:
где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:
Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6
Составим интервальную группировку
Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:
X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)
Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:
Определим дисперсию по формуле:
Формулу дисперсии можно преобразовать так:
Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.
Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:
где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка
(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:
Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:
Виды дисперсии
Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.
характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.
Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:
где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.
Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).
Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:
Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:
Правило сложения дисперсии в статистике
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:
Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.
Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.
Свойства дисперсии
1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.
Это разность математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее мат ожидания.
D(X)=M(X^2)-M^2(X)
Дисперсия характеризует степень рассеяния значение случайной величины относительно ее мат ожидания. Если все значения тесно сконцентрированы около ее мат ожидания и больше отклонения от мат ожид, то такая случайная величина имеет малую дисперсию, а если рассеяны и велика вероятность больших отклонений от М, то случ величина имеет большую дисперсию.
Свойства:
1.Дисперсия постоянно равна 0 D(C)=0
2.Дисперсия произведения случ величины на постоянную С равна произ десперсии случ велич Х на квадрат постоянной D(CX)=C^2D(X)
3.Если случ велич X and Y независимы, дисперсия их суммы (разности) равна сумме дисперсий
D(X Y)=D(X)+D(Y)
4.Дисперсия случ велич не изменится если к ней прибавить постоянную
Теорема:
Дисперсия числа появление соб А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления соб постоянна и равна p, равна произведению числа испытания на вероятность появления и вероятности непоявления соб в одном испытании
Среднее квадратичское отклонение.
Средним квадрат отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсия
Непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства.
Случайная величина, значение которой заполняет некоторый промежуток, называется непрерывной .
Промежутки могут быть конечными, полубесконечными или бесконечными.
Функция распред св.
Способы задания ДСВ неприменимы для непрерывной. В этой связи вводиться понятие функции распределение вероятностей.
Функция распределения называют функцию F(x) определяющую для каждого значения х вероятность того что случ велич Х примет значение меньшее х т.е
Функция распределения ДСВ принимающие значение (x1,x2,x3) с вероятностью (p1,p2,p3) определяется
Так, например функция распределения биномиального распределения определяется формулой: 
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, частично-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Свойства:
1.значение функции принадлежит
2. функция распределения есть неубывающая функция F(x2) 3.Вероятность того что случайная величина X примет значение заключенное в интервале (α,β) равна приращению функции распределения на этом интервале P(α Следствие. Вероятность того что случ велич примет одно значение равно 0. 4.Если все возможные значение случ велич Х принадлежит (a,b) то F(x)=0 при x a и F(x)=1 при x b 5.Вероятность того, что случ велич Х примет значение большее чем x равно разности между единицей и функцией распределения
https://pandia.ru/text/78/381/images/image002_82.jpg" width="192 height=55" height="55"> 0 Значение полигона, построенного по данному выборочному распределению, в точке 1280 и моды равны
DX = 1.5. Используя свойства дисперсии , найдите D(2X+5).
MX = 1.5. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X+5).
MX = 5, MY = 2. Используя свойства математического ожидания, найдите M(2X - 3Y).
x
– стандартная нормальная случайная величина. Случайная величина
x
2 имеет распределение
X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).
Бросается 5 монет. Какова вероятность того, что три раза выпадет герб?
Бросается 6 монет. Вероятность того, что герб выпадет более четырех раз равна:
Гистограмма" href="/text/category/gistogramma/" rel="bookmark">гистограмму . Она имеет вид
DIV_ADBLOCK44">
В итоге четырех измерений некоторой физической величины одним прибором получены следующие результаты: 8, 9, 11, 12. Выборочная средняя результатов измерений, выборочная и исправленная дисперсии ошибок прибора равны соответственно
В круг радиусом 10 помещен меньший круг радиусом 5. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.
В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
В среднем каждое сотое изделие, производимое предприятием, дефектное. Если взять два изделия, какова вероятность, что оба окажутся исправными?
В таблице статистического распределения, построенного по выборке, на одно число попала клякса В таблице статистического распределения, построенного по выборке, одна цифра написана неразборчиво В ящике в 5 раз больше красных шаров, чем черных. Найти вероятность p того, что вынутый наугад шар окажется красным.
Вариационный ряд выборки: -7, 2, 4, 0, 3, 2, 1, -5 имеет вид
–7, -5, 0, 1, 2, 2, 3, 4 Величина
x
имеет распределение N(a,
s
). Вероятность p{|
x
-a|<2
s
} равна
Величина
x
имеет распределение N(a,
s
). Вероятность p{
x
Величина
x
имеет распределение N(a,
s
). Вероятность p{
x
Вероятность выиграть в кости равна 1/6. Игрок делает 120 ставок. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число выигрышей не будет меньше 15?
Вероятность выиграть в рулетку равна 1/38. Игрок делает 190 ставок. С помощью какой таблицы можно найти вероятность того, что он выиграет не менее 5 раз?
распределения Пуассона Вероятность выиграть, играя в рулетку, 1/37. Сделав ставку 100 раз, мы ни разу не выиграли. Заподозрив, что игра ведется не честно, мы решили проверить свою гипотезу, построив 95%-ый доверительный интервал для вероятности выигрыша. По какой формуле строится интервал и что дала проверке в нашем случае?
DIV_ADBLOCK46">
Вероятность появления события А в испытании равна 0.1. Чему равно среднеквадратическое отклонение числа появлений события А в одном испытании?
Вероятность суммы любых случайных событий A и B вычисляется по формуле:
р(A+B)=р(A)+р(B)-р(AB) Вероятность того, что дом может сгореть в течение года, равна 0.01. Застраховано 500 домов. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что сгорит не более 5 домов?
распределением Пуассона Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком-автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0.96. Каков процент брака q? Какое количество негодных деталей в среднем (назовем это число M) будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук?
Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2, x2 = 5, x3 = 8. Известны вероятности: р(X = 2) = 0.4; р(X = 5) = 0.15. Найдите р(X = 8).
Вратарь парирует в среднем 30 % всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно два из четырех мячей?
Всегда ли верна формула M(X+Y)=M(X)+M(Y)
да, всегда Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1 – 10 руб. Найдите вероятности p0 (билет не выиграл), p1 (билет выиграл 1 руб.), p5 (билет выиграл 5 руб.) и p10 (билет выиграл 10 руб.) событий.
p0=0.89; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01 Дан вариационный ряд выборки объема n = 7: -5, -3, 0, 1, 1, 4, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
Дан вариационный ряд выборки объема n = 8: -2, 0, 3, 4, 6, 9, 12, 16. Выборочная медиана d и выборочное среднее для этого ряда равны
Дан вариационный ряд выборки объема n = 9: -2, 0, 3, 3, 4, 5, 9, 11, 12. Выборочная медиана для этого ряда – d равна
Дана выборка объема n = 10..jpg" width="13 height=21" height="21"> для этой выборки равно
https://pandia.ru/text/78/381/images/image011_24.jpg" width="49" height="32 src="> Дана выборка объема n = 5: -2, -1, 1, 3, 4..jpg" width="107" height="24 src="> Дана выборка объема n = 5: 2, 3, 5, 7, 8..jpg" width="108" height="24 src="> Дана выборка объема n = 5: -3, -2, 0, 2, 3..jpg" width="115" height="24 src="> Дана выборка объема n = 5: -4, -2, 2, 6, 8..jpg" width="13" height="21 src="> = 2, S2 = 20,8 Дана выборка объема n = 5: -6, -4, 0, 4, 6..jpg" width="13" height="21 src="> = 0, S2 = 20,8 Дана выборка объема n = 7: 3, 5, -2, 1, 0, 4, 3. Вариационный ряд для этой выборки и размах вариационного ряда
–2, 0, 1, 3, 3, 4, 5; размах равен 7 Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn..jpg" width="141" height="45 src="> Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить на 5 единиц, то
выборочное среднее увеличится на 5, а выборочная дисперсия S2 не изменится Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то выборочное среднее
возрастет в 5 раз, а выборочная дисперсия S2 увеличится в 25 раз Дана выборка объема n: х1, х2, …, хn. Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
ak = https://pandia.ru/text/78/381/images/image017_13.jpg" width="83" height="47 src="> Дана выборка объема n: х1, х2, х3, …, хn..jpg" width="140" height="45 src="> Дана выборка: 0, 5, 2, 8, 2, 6, 1, 5. Вариационный ряд для этой выборки и его размах
0, 1, 2, 2, 5, 5, 6, 8; размах выборки 8 Дана конкретная выборка объема n = 10: 2, 2, 5, 5, 4, 3, 4, 2, 2, 5. Статистическое распределение этой выборки имеет вид
https://pandia.ru/text/78/381/images/image021_11.jpg" width="203" height="51"> С помощью метода наименьших квадратов по этим точкам строится прямая регрессии . Эта прямая для прибыли в марте дает значение (Указание. Определить это значение без построения прямой регрессии)
Дано статистическое распределение выборки https://pandia.ru/text/78/381/images/image023_9.jpg" width="200" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны
https://pandia.ru/text/78/381/images/image024_6.jpg" width="200" height="69"> График эмпирической функции распределения для этой выборки имеет вид
https://pandia.ru/text/78/381/images/image026_4.jpg" width="192" height="69 src="> Эмпирическая функция распределения для этого ряда имеет вид
https://pandia.ru/text/78/381/images/image028_4.jpg" width="144" height="78 src="> Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image030_6.jpg" width="87" height="47 src="> Дано статистическое распределение выборки с числом вариант m: https://pandia.ru/text/78/381/images/image032_3.jpg" width="13 height=23" height="23"> . Тогда статистический центральный момент k-го порядка находится по формуле:
https://pandia.ru/text/78/381/images/image034_2.jpg" width="185" height="71 src="> Выборочная средняя равна . Тогда выборочная дисперсия S2 находится по формуле
https://pandia.ru/text/78/381/images/image036_2.jpg" width="201" height="71 src="> Статистический (или эмпирический) начальный момент k-го порядка находится по формуле
https://pandia.ru/text/78/381/images/image038_2.jpg" width="193" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны
https://pandia.ru/text/78/381/images/image039_2.jpg" width="185" height="71"> Выборочное среднее и выборочная дисперсия S2 равны
https://pandia.ru/text/78/381/images/image040_2.jpg" width="245" height="28 src="> . При уровне значимости
a
=0,05 проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних
m
x=
m
y (конкурирующая гипотеза
m
x≠
m
y). Опытное значение статистики Т, применяемой для проверки гипотезы Н0, равно 4,17. Гипотеза Мх = Му
проходит Для 2-х нормальных независимых величин с одинаковыми дисперсиями получены выборки объема nх=42 и ny=20 с такими характеристиками: https://pandia.ru/text/78/381/images/image041_2.jpg" width="16" height="20 src="> и таблиц нормального распределения строится доверительный интервал. Если увеличить объем выборки в 100 раз, длина доверительного интервала примерно
уменьшится в 10 раз Для выборки объема n=9 рассчитали выборочную дисперсию S2=3,86. Исправленная дисперсия равна
Для контроля качества продукции завода из каждой партии готовых изделий выбирают для проверки 1000 деталей. Проверку не выдерживают в среднем 80 изделий. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно бракованных изделий (назовем это число M) будет в партии из 10000 единиц?
p = 0.92; M = 800 Для обработки наблюдений методом наименьших квадратов построена прямая. Ее график:
https://pandia.ru/text/78/381/images/image043_3.jpg" width="20" height="24">) Для построения доверительного интервала для оценки вероятности надо пользоваться таблицами
нормального распределения Для проверки гипотезы о равенстве 2-х генеральных средних надо пользоваться таблицами
распределения Стьюдента Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Равной чему можно принять вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии? Сколько семян в среднем (назовем это число M) взойдет из каждой тысячи посеянных?
Для сравнения 2-х генеральных средних совокупностей X и Y из них извлекли выборки объема n и m соответственно. Для проверки гипотезы о том, что
m
х=
m
y, надо вычислить статистику
https://pandia.ru/text/78/381/images/image045_3.jpg" width="12" height="20"> , выборочное среднеквадратическое s Для того, чтобы вдвое сузить доверительный интервал, построенный для математического ожидания, во сколько раз надо увеличить число наблюдений
Для того, чтобы по выборке объема n= 10 построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого неизвестна, нужны таблицы
распределения Стьюдента. Для того, чтобы построить 95%-ый доверительный интервал для математического ожидания
m
случайной величины, распределенной нормально с известной дисперсией
s
2 по выборке объема n, вычисляется и используется формула
https://pandia.ru/text/78/381/images/image048_1.jpg" width="136 height=47" height="47"> Если вероятность события A есть р(A), то чему равна вероятность события, ему противоположного?
Если имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi и известны вероятности P(A/Hi), то P(A) вычисляется по формуле
Полной вероятности Завод в среднем дает 27% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие не будет высшего или первого сорта.
Завод в среднем дает 28% продукции высшего сорта и 70% – первого сорта. Найдите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или высшего, или первого сорта.
Задана таблица распределения случайной величины. Найти C..jpg" width="187" height="59 src=">
Значение кумуляты, построенной по таблице, в точке 170, и медианы равны https://pandia.ru/text/78/381/images/image052_1.jpg" width="204" height="50 src="> Оценка генеральной средней
Из колоды, состоящей из 36 карт, вынимают наугад две карты. Вероятость того, что попадут две карты одинаковой масти равна
https://pandia.ru/text/78/381/images/image054_1.jpg" width="43" height="41 src="> Известно, что X~N(0,3), Y~N(0.5, 2), Х и Y независимы. S=X+2Y имеет распределение
Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба?
Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Чему равна вероятность того, что из 200 взятых наугад изделий 2 окажутся неисправными?
Имеется группа из n несовместных событий Hi, в сумме составляющих все пространство, и известны вероятности P(Hi), а событие A может наступить после реализации одного из Hi, и заданы вероятности P(A/Hi). Известно, событие A произошло. Вероятность, что при этом была реализована Hi вычисляется по формуле
Количество поражений шахматиста в течение года имеет распределение Пуассона с параметром λ=6. Вероятность того, что шахматист в течение года проиграет не более двух партий равна
https://pandia.ru/text/78/381/images/image056_0.jpg" width="44" height="45 src="> Куплено 1000 лотерейных билетов. На 80 из них упал выигрыш по 1 руб., на 20 – по 5 руб., на 10 – по 10 руб. Какая таблица описывает закон распределения выигрыша?
https://pandia.ru/text/78/381/images/image058_1.jpg" width="89 height=52" height="52"> , равны
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на отрезке , равны
Медиана выборки Монету бросали 100 раз. 70 раз выпал орел, для проверки гипотезы о симметричности монеты строим доверительный интервал и проверяем, попали ли мы в него. По какой формуле строится доверительный интервал, и что даст проверка в нашем конкретном случае?
I 0,95 (p) = , монета не симметричная На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции, а машина B – 60%. В среднем 9 из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, и 1 из 250, произведенных машиной B, оказываются бракованными. Какова вероятность, что случайно выбранная единица продукции окажется бракованной?
На некотором заводе было замечено, что при определенных условиях в среднем 1.6% изготовленных изделий оказываются неудовлетворяющими стандарту и идут в брак. Равной чему можно принять вероятность того, что наугад взятое изделие этого завода окажется качественным? Сколько примерно непригодных изделий (назовем это число M) будет в партии из 1000 изделий?
p = 0.984; M = 16 На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок L длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
Наблюдения проводились над системой (х, у) 2-х величин. Результаты наблюдения записаны в таблицу Наблюдения проводятся над системой (X: Y) двух случайных величин. Выборка состоит из пар чисел: (х1: y1), (х2: y2), …, (хn: yn)..jpg" width="11" height="24 src=">.jpg" width="11" height="27 src=">.jpg" width="200" height="49 src="> Плотность распределения f(x) можно найти по функции распределения F(х) по формуле
https://pandia.ru/text/78/381/images/image069.jpg" width="161" height="83 src="> По выборке объема 100 надо построить доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения, дисперсия которого известна. Для этого необходимо воспользоваться
таблицами нормального распределения По выборке объема n из нормального распределения с известной дисперсией
s
2 строится доверительный интервал для математического ожидания. Если объем выборки увеличить в 25 раз, длина доверительного интервала
уменьшится в 5 раз По выборке объема n из нормального распределения с неизвестной дисперсией строится доверительный интервал для математического ожидания. Объем выборки увеличиваем в 16 раз..jpg" width="274" height="151"> Медиана равна
По выборке построена гистограмма нормальное По выборке построена гистограмма равномерное По выборке построена статистическая таблица распределения https://pandia.ru/text/78/381/images/image075.jpg" width="201" height="48 src="> По выборке построена таблица статистического распределения выборки, имеющая вид.
https://pandia.ru/text/78/381/images/image077.jpg" width="187" height="75 src="> Построить графически моду, найти медиану
https://pandia.ru/text/78/381/images/image008_28.jpg" width="105" height="47 src="> , где DIV_ADBLOCK57">
Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. Вероятность того, что событие A наступит m раз
вычисляется по формуле Бернулли Производится n независимых испытаний, в которых вероятность наступления события A равна p. n велико. Вероятность того, что событие A наступит m раз, вычисляется по формуле или используются асимптотические приближения?
используются асимптотические приближения Производится выборка объема n=100 из генеральной совокупности, имеющей распределение N (20,4)..jpg" width="184" height="73"> Эмпирическое среднее времени, затрачиваемого на обработку одной детали,
Рулетка размечается с помощью меток – 00, 0, 1, ...36. Метки при игре не имеют преимуществ друг перед другом. Игрок делает 114 попыток. Какова вероятность ни разу не выиграть?
С первого станка на сборку поступает 40% деталей, остальные 60% со второго. Вероятность изготовления бракованной детали для первого и второго станка соответственно равна 0.01 и 0.04. Найдите вероятность того, что наудачу поступившая на сборку деталь окажется бракованной.
Самое маленькое значение в выборке 0, самое большое 8, медиана 2. По этой выборке построена гистограмма
DIV_ADBLOCK59">
События A и B называются несовместными, если:
События называются независимыми, если:
р(AB)=р(A)р(B) Состоятельной, но смещенной точечной оценкой параметра является
эмпирическая дисперсия S2 Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Чему равна вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта?
Страхуется 1600 автомобилей; вероятность того, что автомобиль может попасть в аварию, равна 0.2. Каким асимптотическим приближением можно воспользоваться, чтобы сосчитать вероятность того, что число аварий не превысит 350?
интегральной формулой Муавра-Лапласа Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Какова вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет?
Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы на - угад. Какова вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов? (С точностью до 3-х знаков после запятой)
Теннисист идет на игру. Если ему дорогу перебежит черная кошка, то вероятность победы 0,2; если не перебежит, то – 0,7. Вероятность, что кошка перебежит дорогу – 0,1; что не перебежит – 0,9. Вероятность победы:
0,1·0,2+0,9·0,7 Условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется:
р(B/A)=р(AB)/р(A) Формула
D(-X)=D(X)
Функцию распределения F(х) можно найти по плотности вероятности f(х) по формуле
Урок передачи-усвоения новых знаний, умений и
навыков. Тема: Дисперсия. Её свойства. Цели урока: Задача: заключается в определении свойств
дисперсии случайной величины и в выводе формулы
для ее расчета. Ход урока. 1. Проверка присутствующих учеников на уроке. 2. Математика – королева всех наук! Учитель
: “Итак, математическое ожидание не
полностью характеризует случайную величину” Ученик 1: “О как же так выходит я совсем
пустяк”. Ученик
2: “Да, ты право, правду говоришь”. Ученик 1: “Но кто заменит вдруг меня, ведь моя
формула, то всем нужна”. Ученик
2: “Да, ты сначала про себя все
вспомни”. Ученик
1: “Без проблем, вот эти
формулы, они известны всем. И если множество
значений бесконечно, то ожидание находится как
ряд, точнее его сумма: А, если величина вдруг непрерывна, то
рассмотреть имеем право мы предельный случай, и
вот в итоге что получим: Ученик 2: “Но это все смешно ведь ожидание не
существует. Нет его!”. Ученик 1: “Нет, ожидание существует,
когда является абсолютно сходящимся и интеграл и
сумма”. Ученик 2: “И все же я твержу одно, нам ожидание
не нужно”. Ученик 1: “Ах как же так? Да это просто ”. Учитель: “Стоп, стоп, закончим спор.
Возьмите ручку и тетрадь, и в путь мы будем с вами
спор решать. Но прежде чем начать, давайте
вспомним лишь одно, чему отклонение от
математического ожидания равно”. Ученик 3: “О, это могу вспомнить я”. Учитель: “Пожалуйста, вот мел, доска”. Ученик 4: “Разность X – М(Х)
называется отклонением случайной величины X от
ее математического ожидания М(Х). Отклонение
является случайной величиной. Так как
математическое ожидание случайной величины
-величина постоянная и математическое ожидание
постоянной равно этой постоянной, то М(Х – М(Х)) = М(Х) – М(М(Х)) =
М (X) – М(Х) = 0. т, е, М(Х – М(Х)) =0.”. Учитель: “Да, все верно, но друзья за
меру рассеяния отклонения случайной величины от
ее математического это принять нельзя. И из этого
последует, что рассматривают модули или квадраты
отклонений. А вот теперь послушайте определение:
X случайной величины – дисперсия или рассеяние –
это математическое ожидание квадрата ее
отклонения. Обозначается как D(X), а формула имеет
вид: D(X) = М((Х – М(Х)) 2). (1) Теперь давайте,
определим, какой же знак величине присвоим мы?”. Ученик 5: “Из свойств и определения
математического ожидания можем получить, лишь
одно, что как величина дисперсия неотрицательна
D(X) > 0” (2). Учитель: “Учитывая равенство один
получим формулу для нахождения дисперсии: D(X) = М(Х 2)
– (М(Х)) 2 . Которую быть может кто – нибудь
докажет”. Ученик 6: “Давайте я попробую. D(X)=M((X
– М(Х)) 2) = М(Х 2 - 2ХМ(Х)+(М(Х)) 2)=М(Х 2)
– 2М(ХМ(Х)+М((М(Х)) 2)=М(Х 2) – 2М(Х)М(Х)+(М(Х)) 2 =М(Х 2)
– (М(Х)) 2 ”. (3) Учитель: “Рассмотрим свойства случайной
величины: 1. Дисперсия С – как постоянной величины равна
нулю: D(C) - 0 (С – const). (4) 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C 2 D(X). (5) 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий: D(X+Y) = D(X) + D(Y). (6) 4. Дисперсия разности двух независимых
случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X –
Y) = D(X) + D(Y). (7) Докажем эти свойства принимая во внимание
свойства ожидания: D(C) = М((С – М(С)) 2) = М((С – С 2)) = М(0) = 0.
Первое свойство доказано оно означает, что
постоянная величина не имеет рассеяния так как
принимает одно и тоже значение. А теперь докажем второе свойство: D(CX) – М((СХ –
М(СХ)) 2) = М((СХ СМ(Х)) 2) = М(С 2 (Х – М(Х)) 2) = С 2 М((Х
– М(Х)) 2) = C 2 D(X). Для доказательства третьего свойства
используем формулу три: D(X+Y) = M((X+Y) 2) – (M(X+Y)) 2 = M(X 2 +2XY+Y 2)
– (M(X)+M(Y)) 2 = M(X 2)+M(2XY)+M(Y 2) – ((M(X)) 2 +2M(X)M(Y)+(M(Y)) 2)
= M(X 2)+2M(X)M(Y)+M(Y 2) – (M(X)) 2 – 2M(X)M(Y)
– (M(Y)) 2 = M(X 2) - (M(X)) 2 +M(Y 2) – (M(Y)) 2
= D(X) – D(Y). Третье свойство распространяется на любое
число попарно-независимых случайных величин. Доказательство четвертого свойства следует из
формул (5) и (6). D(X – Y) = D(X +(- Y)) – D(X) +D(– Y)=D(X)+(-l) 2 D(Y) = D(X)+D(Y). Если случайная величина является X является
дискретной и задан ее закон распределения Р(Х=х k)
= p k (k= 1,2,3,n). Таким образом случайная величина (X - М(Х)) 2
имеет следующий закон распределения: (к=1,2,3,n), =l. Исходя из определения математического
ожидания, получаем формулу Дисперсия непрерывной случайной величины X, все
возможные значения корой принадлежат отрезку
[а,Ь] , определяется формулой: D(X)=(x-M(X)) 2 p(x)dx
(8) где р(х) – плотность распределения этой
величины. Дисперсию можно вычислять по формуле: Для учеников, имеющих оценку “4” и “5”
необходимо дома доказать формулу (9). 3. Закрепление нового материала в виде тестовой
работы. 1) Тестовая работа по теме “Дисперсия и
ее свойства”. 1. Продолжить определение: дисперсия – это. 2. Выберите правильную формулу для расчета
дисперсии: а) D(X)=D(X) 2 – (D(X)) 2 ;
Это число
Эта цифра
Эта цифра
равна
Коэффициент корреляции равен
Медиана равна
По виду гистограммы можно предполагать, что генеральная совокупность, из которой произведена выборка, имеет распределение
решать основные типы задач теории вероятности и
применять теорию в конкретных различных
ситуациях; 3) формирование представлений об идеях
и методах высшей математики; 4) формирование у
учащихся на материале учебного предмета высшей
математики способов учебно-познавательной
деятельности.
Без нее не летят корабли,
Без нее не поделишь ни акра земли,
Даже хлеба не купишь, рубля не сочтешь,
Что по не узнаешь, а узнав не поймешь!
б) D(X)=M(X – D(X 2));
в)D(X)=M((X-M(X)) 2);
г) D(X)=M(X) 2 – (M(X)) 2 ;