Как найти косинус угла между прямыми. Простейшие задачи с прямой на плоскости

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l 1 параллельна l 2 тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Угол между прямой и плоскостью

Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ;
d ′− проекция прямой d на плоскость θ;
Наименьший из углов между прямыми d и d ′ мы назовем углом между прямой и плоскостью .
Обозначим его как φ=(d ,θ)
Если d ⊥θ , то (d ,θ)=π/2

Oi →j →k →− прямоугольная система координат.
Уравнение плоскости:

θ:Ax +By +Cz +D =0

Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d [M 0,p →]
Вектор n →(A ,B ,C )⊥θ
Тогда остается выяснить угол между векторами n → и p →, обозначим его как γ=(n →,p →).

Если угол γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Если угол γ>π/2 , то искомый угол φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Вопрос29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм.

Квадратичной формой j (х 1 , х 2 , …, x n) n действительных переменных х 1 , х 2 , …, x n называется сумма вида
, (1)

где a ij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a ij = a ji .

Квадратичная форма называется действительной, если a ij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица
Т. е. А Т = А . Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j (х ) = х Т Ах , где х Т = (х 1 х 2 … x n ). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А . (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

положительно определенной (или строго положительной), если

j (х ) > 0 , для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j (х ) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если

j (х ) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квад-ратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадра-тичная форма j (х ) достигает минимального (максимального) значения j (х* ) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А , расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А .

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

х ) = х Т Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть: М 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Критерий отрицательной определенности Для того чтобы квадратичная форма j (х ) = х Т Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, т. е.: М 1 < 0, M 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1) n

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L 1 и L

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L 1 и L 2 . Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ 1 . Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L 1 и L 2: φ 1 =180-φ .

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Упростим и решим:

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ =0. Тогда cosφ =1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ =90°. Тогда cosφ =0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L 1 и L 2 заданы общими уравнениями

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Пример 4. Найти угол между прямыми

Подставляя значения A 1 , B 1 , A 2 , B 2 в (1.23), получим:

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

С другой стороны условие параллельности прямых L 1 и L 2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n 1 и n 2 и можно представить так:

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L 1 и L 2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos (φ )=0. Тогда скалярное произведение (n 1 ,n 2)=0. Откуда

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L 1 и L 2 заданы каноническими уравнениями

где |q 1 | и |q 2 | модули направляющих векторов q 1 и q 2 соответственно, φ -угол между векторами q 1 и q 2 .

Из выражения (2.3) получим:

Упростим и решим:

Найдем угол φ

Пусть в пространстве заданы прямые l и m . Через некоторую точку А пространства проведем прямые l 1 || l и m 1 || m (рис. 138).

Заметим, что точка А может быть выбрана произвольно, в частности она может лежать на одной из данных прямых. Если прямые l и m пересекаются, то за А можно взять точку пересечения этих прямых (l 1 = l и m 1 = m ).

Углом между непараллельными прямыми l и m называется величина наименьшего из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми l 1 и m 1 (l 1 || l , m 1 || m ). Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Угол между прямыми l и m обозначается $\widehat{(l;m)} $. Из определения следует, что если он измеряется в градусах, то 0°< $\widehat{(l;m)} $ < 90°, а если в радианах, то 0 < $\widehat{(l;m)} $ < π / 2 .

Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Найти угол между прямыми АВ и DС 1 .

Прямые АВ и DС 1 скрещивающиеся. Так как прямая DC параллельна прямой АВ, то угол между прямыми АВ и DС 1 , согласно определению, равен $\widehat{C_{1}DC}$.

Следовательно, $\widehat{(AB;DC_1)}$ = 45°.

Прямые l и m называются перпендикулярными , если $\widehat{(l;m)} $ = π / 2 . Например, в кубе

Вычисление угла между прямыми.

Задача вычисления угла между двумя прямыми в пространстве решается так же, как и на плоскости. Обозначим через φ величину угла между прямыми l 1 и l 2 , а через ψ - величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Тогда, если

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. 206,6), то φ = 180° - ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

$$ cos\psi = cos\widehat{(a; b)} = \frac{a\cdot b}{|a|\cdot |b|} $$

следовательно,

$$ cos\phi = \frac{|a\cdot b|}{|a|\cdot |b|} $$

Пусть прямые заданы своими каноническими уравнениями

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{a_2}=\frac{z-z_1}{a_3} \;\; и \;\; \frac{x-x_2}{b_1}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{b_3} $$

Тогда угол φ между прямыми определяется с помощью формулы

$$ cos\phi = \frac{|a_{1}b_1+a_{2}b_2+a_{3}b_3|}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}} (1)$$

Если одна из прямых (или обе) задана не каноничecкими уравнениями, то для вычисления угла нужно найти координаты направляющих векторов этих прямых, а затем воспользоваться формулой (1).

Задача 1. Вычислить угол между прямыми

$$ \frac{x+3}{-\sqrt2}=\frac{y}{\sqrt2}=\frac{z-7}{-2} \;\;и\;\; \frac{x}{\sqrt3}=\frac{y+1}{\sqrt3}=\frac{z-1}{\sqrt6} $$

Направляющие векторы прямых имеют координаты:

а = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

По формуле (1) находим

$$ cos\phi = \frac{|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|}{\sqrt{2+2+4}\sqrt{3+3+6}}=\frac{2\sqrt6}{2\sqrt2\cdot 2\sqrt3}=\frac{1}{2} $$

Следовательно, угол между данными прямыми равен 60°.

Задача 2. Вычислить угол между прямыми

$$ \begin{cases}3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end{cases} и \begin{cases}4x-y+z=0\\y+z+1=0\end{cases} $$

За направляющий вектор а первой прямой возьмем векторное произведение нормальных векторов n 1 = (3; 0; -12) и n 2 = (1; 1; -3) плоскостей, задающих эту прямую. По формуле $=\begin{vmatrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} $ получаем

$$ a==\begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}=12i-3i+3k $$

Аналогично находим направляющий вектор второй прямой:

$$ b=\begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-2i-4i+4k $$

Но формуле (1) вычисляем косинус искомого угла:

$$ cos\phi = \frac{|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|}{\sqrt{12^2+3^2+3^2}\sqrt{2^2+4^2+4^2}}=0 $$

Следовательно, угол между данными прямыми равен 90°.

Задача 3. В треугольной пирамиде МАВС ребра MA, MB и МС взаимно перпендикулярны, (рис. 207);

их длины соответственно равны 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Найти угол φ между прямыми СА и DB.

Пусть СА и DB - направляющие векторы прямых СА и DB.

Примем точку М за начало координат. По условию зядачи имеем А (4; 0; 0), В(0; 0; 3), С(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Поэтому $\overrightarrow{CA}$ = (4; - 6;0), $\overrightarrow{DB}$= (-2; 0; 3). Воспользуемся формулой (1):

$$ cos\phi=\frac{|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|}{\sqrt{16+36+0}\sqrt{4+0+9}} $$

По таблице косинусов находим, что угол между прямыми СА и DB равен приблизительно 72°.

Инструкция

Обратите внимание

Период тригонометрической функции тангенс равен 180 градусам, а значит углы наклоны прямых не могут, по модулю, превышать этого значения.

Полезный совет

Если угловые коэффициенты равны между собой, то угол между такими прямыми равен 0, так как такие прямые или совпадают или параллельны.

Чтобы определить величину угла между скрещивающимися прямыми, необходимо обе прямые (или одну из них) перенести в новое положение методом параллельного переноса до пересечения. После этого следует найти величину угла между полученными пересекающимися прямыми.

Вам понадобится

Линейка, прямоугольный треугольник, карандаш, транспортир.

Инструкция

Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А x + В y + C z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:сos α = (а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).

Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + с C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).

Пример: найдите угол между вектором (5, -3, 8) и плоскостью , заданной общим уравнением 2 x – 5 y + 3 z = 0.Решение: выпишите координаты нормального вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все известные значения в приведенную формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Видео по теме

Прямая линия, имеющая с окружностью одну общую точку, является касательной к окружности. Другая особенность касательной – она всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть касательная и радиус образуют прямой угол . Если из одной точки А проведены две касательных к окружности АВ и АС, то они всегда равны между собой. Определение угла между касательными (угол АВС) производится с помощью теоремы Пифагора.

Инструкция

Для определения угла необходимо знать радиус окружности ОВ и ОС и расстояние точки начала касательной от центра окружности - О. Итак, углы АВО и АСО равны , радиус ОВ, например 10 см, а расстояние до центра окружности АО равно 15 см. Определите длину касательной по формуле в соответствии с теоремой Пифагора: АВ = квадратный корень из АО2 – ОВ2 или 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов: