Линейные диф. уравнения n-го порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь - функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где - функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
(1) ,
где - функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где - произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка - это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где - общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3) .
Здесь - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение :
(4) .

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где - многочлены степеней s1 и s2 ; - постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s - наибольшее из s1 и s2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли .
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где - функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n - 1 - го порядка.

2) Метод линейной подстановки .
Сделаем подстановку
,
где - один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа .
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где - неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Дифференциальные уравнения n -ого порядка.

Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в виде системы из n уравнений первого порядка.

(3)

Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).

Простейшие случаи понижения порядка.

Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до порядка k -1 включительно , то есть

В этом случае порядок может быть понижен до
заменой. Если из этого уравнения выразитьтогда решениеy можно определить k-кратным интегрируемым функции p .

Пример.
.

Уравнение, не содержащие неизвестного переменного

(5)

В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой .

Пример.
.

Левая часть уравнения

(6)

есть производная некоторого дифференциального выражения ( n -1)-го порядка .
. Если
- решение последнего уравнения, следовательно, существует. Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу степень решаемого уравнения.

Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении на
поэтому здесь могут появиться лишнее решения (обращающиев ноль) или мы можем потерять решение, еслиразрывная функция.

Пример.

Уравнение

(7)

однородно относительно и его производных .

Или , где показатель
определяется из условий однородности.

Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой: .

Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность функции F , то в итоге в получим: .

Пример.
.

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка.

Подстановка
.

Если уравнение (8) можно разрешить относительно старшей производной, то уравнение
два раза интегрируется по переменнойx .

Можно ввести параметр и заменить уравнение (8) его параметрическим представлением:
. Воспользовавшись соотношением для дифференциалов:
, получаем:и

II .
(9)

Воспользуемся параметрическим представлением:

III .
. (10)

Понизить порядок можно заменой:
.

Если уравнение (10) разрешимо относительно старшей производной
, то помножим правую и левую часть на
. Получим:.Это уравнение с разделяющимися переменными:
.

Можно уравнение (10) заменить его параметрическим представлением: . Воспользуемся свойствами дифференциала:.

Пример.
.

Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка.

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n -го порядка называются уравнения вида:
. (1)

Если коэффициенты непрерывны на
, то в окрестности любых начальных значений вида:, гдепринадлежит интервалу, то в окрестности этих начальных значений удовлетворяются условиятеоремы о существовании и единственности . Линейность и однородность уравнения (1) сохраняется при любом преобразовании
, где- произвольнаяnраз дифференцируемая функция. Причем
. Линейность и однородность сохраняется при линейном и однородном преобразовании неизвестной функции.

Введем линейный дифференциальный оператор: , тогда (1) можно записать так:
. Определитель Вронского для
будет иметь вид:

, где- линейно независимые решения уравнения (1).

Теорема 1. Если линейно независимые функции
- это решение линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на
коэффициентами
, то определитель Вронского
не обращается в ноль ни в одной точке отрезка
.

Теорема 2. Общим решением линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на
коэффициентами
будет линейная комбинация решений, то есть
(2), где
линейно независимые на отрезке
частные решения (1).

(доказывается аналогично случаю системы линейных дифференциальных уравнений)

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений (1) равно его порядку.

Зная одно нетривиальное частное решение уравнения (1) -
, можно сделать подстановку
и понизить порядок уравнения, сохранив его линейность и неоднородность. Обычно эту подстановку разбивают на две. Поскольку это линейно однородное представление, то оно сохраняет линейность и однородность (1), а значит (1) должно быть приведено к виду. Решению
в силу
соответствует решение
, и, следовательно,
. Сделав замену
, получим уравнение с порядком
.

Лемма. (3)

Два уравнения вида (3) и (4), где Q i и P i – непрерывные на функции, имеющие общую фундаментальную систему решений, совпадают, т.е. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

На основании леммы можно сделать вывод, что фундаментальная система решений y 1 y 2 …y n полностью определяет линейное однородное уравнение (3).

Найдем вид уравнения (3), имеющего фундаментальную систему решений y 1 y 2 …y n . Любой решение y (x ) уравнения (3) линейно зависит от фундаментальной системы решений, а это значит, что W=0. Разложим определитель Вронского W по последнему столбцу.

Уравнение (5) является искомым линейным дифференциальным уравнением, имеющим данную систему фундаментальных решений. Мы можем (5) разделить на W, т.к. он не равен нулю  x. Тогда:

(*)

По правилу дифференцирования определителя, производная от определителя равна сумме по i=1,2…n определителей, i-ая строка каждого из которых равна производной от i –ой строки исходного определителя. В этой сумме все определители, кроме последнего, равны нулю (т.к. у них по две одинаковые строки), а последний равен (*). Таким образом, получим:

, тогда:
(6)

(7)

Определение. Формулы (6) и (7) называются формулами Остроградского-Лиувиля.

Используем (7) для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка. И пусть нам известно одно из решений y 1 уравнения (8).

Согласно (7) любое решение (8) должно удовлетворять следующему соотношению:

(9)

Воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Линейные однородные уравнения с

постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном уравнении все коэффициенты постоянны,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

то частные решения (1) могут быть определены в виде: y=e kx , где k - постоянная.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

Определение. (3) - характеристическое уравнение.

Вид решения (1) определяется корнями характеристического уравнения (3).

1). Все корни вещественные и различные , тогда:

2). Если все коэффициенты вещественные, то корни могут быть комплексно-сопряженные .

k 1 =+i k 2 =-i

Тогда решения имеют вид:

Согласно теореме: если оператор с вещественными коэффициентами имеет комплексно-сопряженные решения, то их действительная и мнимая части также являются решениями. Тогда:

Пример.

Решение представим в виде
, тогда характеристическое уравнение имеет вид:

, получим два решения:

тогда искомая функция:

3). Имеются кратные корни: k i с кратностью  i . В этом случае число различных решений
будет меньшеn, следовательно, нужно искать недостающие линейно-независимые решения в другом виде. Например:

Доказательство:

Допустим, k i =0, если подставить его в (3), то получим, что , тогда:

- частные решения (3).

Пусть k i 0, сделаем замену
(6)

Подставим (6) в (1), получим относительно z линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (7).

Корни (3) отличаются от корней характеристического уравнения (7) на слагаемое k i .

(8)

Если k=k i , то тогда этому k соответствует решение уравнения (7) с корнем p=0 , т.е. соответствуют решения вида z=
, тогда y=- решение уравнения (1). А общее решение имеет вид:

решение для k i



Уравнение Эйлера.

Определение. Уравнение вида:

a i -постоянные коэффициенты, называется уравнением Эйлера.

Уравнение Эйлера заменой x=e t сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами.

Можно искать решения в виде y=x k , тогда они имеют вид:

Линейные неоднородные уравнения.

Если a 0 (x)0, то разделив на этот коэффициент уравнение (1), получим:

.

Если на b i и f непрерывны, то (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее соответствующим начальным условиям . Если в явном виде выразить старшие производные из (2), то получим уравнение, правая часть которого удовлетворяет теореме о существовании и единственности. Так как операторL линейный, значит, для (2) выполняется:

1).
- решение (2), если- решение неоднородного уравнения (2), а- решение соответствующего однородного уравнения.

2). Если - решения
, то
решение уравнения
.

Свойство 2 – принцип суперпозиции, он справедлив при
, если ряд
- сходится и допускаетm -кратное почленное дифференцирование.

3) Пусть дано операторное уравнение
, гдеL – это оператор с коэффициентами , все- вещественные. ФункцииU и V тоже вещественные. Тогда, если это уравнение имеет решение
, то решением этого же уравнения будут и мнимая и вещественная частиy:
и
. При чем каждый из них соответствует решению .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения n -порядка
на отрезке [ a , b ] при условии, что все коэффициенты
и правая часть
- непрерывные функции, можно представить в виде суммы общего решения, соответствующей однородной системы
и частного решения неоднородной -
.

Т.е. решение
.

Если невозможно в явном виде подобрать частные решения неоднородной системы, то можно воспользоваться методом вариации постоянной . Решение будем искать в виде:

(3)

где
решения однородной системы,
- неизвестные функции.

Всего неизвестных функций
- n. Они должны удовлетворять исходному уравнению (2).

Подставив в уравнение (2) выражение y(x), мы получим условия для определения только одной неизвестной функции. Чтобы определить остальные (n-1)-ну функции, необходимо еще (n-1)-но дополнительное условие, их можно выбрать произвольно. Выберем их так, чтобы решение (2) - y(x) имело вид такой же, как если бы
были константами.

,

т.к.
ведут себя как константы, то
, значит, и
.

Т.о. мы получим (n-1)-но условие дополнительно к уравнению (1). Если подставить выражение для производных в уравнение (1) и учесть все полученные условия и то, что y i – решение соответствующей однородной системы, то мы получим последнее условие для
.

Перейдем к системе:

(3)

Определитель системы (3) – это (W) определитель Вронского, а т.к. y i – это решения однородной системы, то W0 на .

Пример. Неоднородное уравнение

, соответствующее ему однородное уравнение

Решение ищем в виде y = e kx . Характеристическое уравнение k 2 +1=0, т.е. k 1,2 =  i

y = e ix = cos x + i sin x , общее решение -

Воспользуемся методом вариации постоянной:

Условия для
:

, что эквивалентно записи:

Отсюда:

Системы линейных диф. уравнений.

Система диф.уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных ф-ий и их производных. Систему n -линейных уравнений 1-го порядка записывают в виде:

Коэф-ты системы являются const.

Эту систему удобно записывать в матричной форме: ,

где - вектор-столбец неизвестных ф-ий, зависящих от одного аргумента.

Вектор-столбец производных этих ф-ий.

Вектор-столбец свободных членов.

Матрица коэффициентов.

Теорема 1: Если все коэф-ты матрицы А непрерывны на некотором промежутке и , то в некоторой окрестности каждой т. выполнены условия ТСиЕ. Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая.

Действительно, в таком случае правые части системы непрерывны по совокупности аргументов и их частные производные по (равные коэф-там матрицы А) ограничены, в силу непрерывности на замкнутом промежутке.

Методы решения СЛДУ

1. Систему диф.уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению.

Пример: Решить систему уравнений: (1)

Решение: исключаем z из данных уравнений. Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе уравнение, получаем после упрощения: .

Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. После того, как из этого уравнения будет найдено y , следует найти z , пользуясь равенством .

2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.

Продолжение 27б

Пример: Решить систему

Решение:

Решим данную систему методом Эйлера. Запишем определитель для нахождения характеристического

уравнения: , (поскольку система однородная, то для того, чтобы она имела не тривиальное решение, надо, чтобы этот определитель был равен нулю). Получаем харак-кое уравнение и находим его корни:

Общее решение имеет вид: ;

- собственный вектор.

Записываем решение для : ;

- собственный вектор.

Записываем решение для : ;

Получаем общее решение: .

Выполним проверку:

найдем : и подставляем в первое уравнение данной системы, т.е. .

Получаем:

- верное равенство.

Линейные диф. уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка.

Линейным диф.уравнением n-го порядка наз-ся уравнение вида: (1)

Если в этом ур-ии коэф-т , то, поделив на него, мы приходим к уравнению: (2) .

Обычно рассматриваются уравнения типа (2). Предположим, что в ур-и (2) все коэф-ты , а также f(x) непрерывны на некотором промежутке (a,b). Тогда согласно ТСиЕ уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , , …, при . Здесь - любая точка из промежутка (a,b), а все - любые заданные числа. Уравнение (2) удовлетворяет ТСиЕ, поэтому не имеет особых решений.

Опр.: особыми точками являются те, в которых =0.

Свойства линейного уравнения:

1. Линейное уравнение остается таковым при любой замене независимой переменной.
2. Линейное уравнение остается таковым при любой линейной замене искомой функции.

Опр.: если в уравнение (2) положить f(x)=0 , то получится уравнение вида: (3) , которое наз-ся однородным уравнением относительно неоднородного уравнения (2).

Введем в рассмотрение линейный диф-й оператор: (4). С помощью этого оператора можно переписать в краткой форме уравнения (2) и(3): L(y)=f(x), L(y)=0. Оператор (4) обладает следующими простыми свойствами:

Из этих двух свойств можно вывести следствие: .

Функция y=y(x) является решением неоднородного уравнения (2), если L(y(x))=f(x) , тогда f(x) наз-ся решением уравнения. Значит решением уравнения (3) наз-ся функция y(x) , если L(y(x))=0 на рассмотренных промежутках.

Рассм. неоднородное линейное уравнение: , L(y)=f(x).

Предположим, что мы нашли каким-либо способом частное решение , тогда .

Введем новую неизвестную функцию z по формуле: , где - частное решение.

Подставим её в уравнение: , раскрываем скобки и получаем: .

Полученное уравнение можно переписать в виде:

Поскольку - частное решение исходного уравнения, то , тогда .

Таким образом, мы получили однородное уравнение относительно z . Общим решением этого однородного уравнения является линейная комбинация: , где функции - составляют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Подставляя z в формулу замены, мы получим: (*) для функции y – неизвестная функция исходного уравнения. Все решения исходного уравнения будут содержаться в (*).

Таким образом, общее решение неоднородного лин. уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного линейного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.

(продолжение на той стороне)

30. Теорема существования и единственности решения диф. уравнения

Теорема: Если в уравнении правая часть непрерывна в прямоугольнике и ограничена, а также удовлетворяет условию Липшица: , N=const, то существует единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям и определенное на отрезке , где .

Доказательство:

Рассмотрим полное метрическое пространство С, точками которого являются всевозможные непрерывные функции y(x), определенные на отрезке , графики которых лежат внутри прямоугольника, а расстояние определяется равенством: . Это пространство часто используется в мат.анализе и называется пространством равномерной сходимости , поскольку сходимость по метрике этого пространства является равномерной.

Заменим диф. уравнение с данными начальными условиями на равносильное ему интегральное уравнение: и рассмотрим оператор А(y) , равный правой части этого уравнения: . Этот оператор ставит в соответствие каждой непрерывной функции

Пользуясь неравенством Липшица, мы можем записать, что расстояние . Теперь выберем такое , для которого выполнялось бы следующее неравенство: .

Следует выбрать так, что , тогда . Таким образом мы показали, что .

Согласно принципу сжимающих отображений существует единственная точка или, что то же самое, единственная функция – решение диф.уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.