Уравнение является дифференциальным уравнением. Дифференциальные уравнения первого порядка

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":

Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение ,
где - независимые переменные, y - функция и - частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Вот пример уравнения четвертого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y . В первом случае y является функцией от x . Во втором случае x является функцией от y . Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′ .
Разделив это уравнение на dx , мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Решение дифференциальных уравнений

Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:

явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y) = 0 или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
решение может не выражается через элементарные функции.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y=f(x) и её производные y",y"",\ldots,y^{(n)} , т. е. уравнение вида

F(x,y,y",y"",\ldots,y^{(n)})=0.

Если искомая функция y=y(x) есть функция одной независимой переменной x , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,

\mathsf{1)}~\frac{dy}{dx}+xy=0, \quad \mathsf{2)}~y""+y"+x=\cos{x}, \quad \mathsf{3)}~(x^2-y^2)\,dx-(x+y)\,dy=0.

Когда искомая функция y есть функция двух и более независимых переменных, например, если y=y(x,t) , то уравнение вида

F\!\left(x,t,y,\frac{\partial{y}}{\partial{x}},\frac{\partial{y}}{\partial{t}},\ldots,\frac{\partial^m{y}}{\partial{x^k}\partial{t^l}}\right)=0

называется уравнением в частных производных. Здесь k,l - неотрицательные целые числа, такие, что k+l=m ; например

\frac{\partial{y}}{\partial{t}}-\frac{\partial{y}}{\partial{x}}=0, \quad \frac{\partial{y}}{\partial{t}}=\frac{\partial^2y}{\partial{x^2}}.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение y"+xy=e^x - уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение y""+p(x)y=0 , где p(x) - известная функция, - уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение y^{(9)}-xy""=x^2 - уравнение 9-го порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y""+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

Y"=\cos{x}-\sin{x}, \quad y""=-\sin{x}-\cos{x}.

Подставляя выражения y"" и y в дифференциальное уравнение, получим тождество

-\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Общий вид уравнения первого порядка

F(x,y,y")=0.

Если уравнение (1) удается разрешить относительно y" , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

Y"=f(x,y).

Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Пусть дано дифференциальное уравнение y"=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям

а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;

б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y"=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения y"=f(x,y) , удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 , хотя в точке (x_0,y_0) не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1. y"=\frac{1}{y^2} . Здесь f(x,y)=\frac{1}{y^2},~\frac{\partial{f}}{\partial{y}}=-\frac{2}{y^3} . В точках (x_0,0) оси Ox условия а) и б) не выполняются (функция f(x,y) и её частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}} разрывны на оси Ox и неограниченны при y\to0 ), но через каждую точку оси Ox проходит единственная интегральная кривая y=\sqrt{3(x-x_0)} (рис. 2).

2. y"=xy+e^{-y} . Правая часть уравнения f(x,y)=xy+e^{-y} и ее частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x-e^{-y} непрерывны по x и y во всех точках плоскости xOy . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость xOy .

3. y"=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} . Правая часть уравнения f(x,y)=\frac{3}{2}\sqrt{y^2} определена и непрерывна во всех точках плоскости xOy . Частная производная \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}} обращается в бесконечность при y=0 , т.е. на оси Ox , так что при y=0 нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение y\equiv0 . Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол y=\frac{(x+c)^3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.

Условие Липшица

Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство

|f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения y"=2|y|\cos{x} функция f(x,y)=2|y|\cos{x} не дифференцируема по y в точке (x_0,0),x_0\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z} , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,

{|f(x,y_2)-f(x,y_1)|=L|2|y_2|\cos{x}-2|y_1|\cos{x}|=2|\cos{x}|\,||y_2|-|y_1||\leqslant2|y_2-y_1|.}

поскольку |\cos{x}|\leqslant1, а ||y_2|-|y_1||\leqslant|y_2-y_1| . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной L=2 .

Теорема. Если функция f(x,y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y в области D , то задача Коши

\frac{dy}{dx}=f(x,y), \quad y|_{x=x_0}=y_0, \quad (x_0,y_0)\in{D}.

имеет единственное решение.

Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение

\frac{dy}{dx}=\begin{cases}\dfrac{4x^3y}{x^4+y^4},&x^2+y^2>0,\\0,&x=y=0.\end{cases}

Нетрудно видеть, что функция f(x,y) непрерывна; с другой стороны,

F(x,Y)-f(x,y)=\frac{4x^3(x^4+yY)}{(x^4+y^2)(x^4+Y^2)}(Y-y).

Если y=\alpha x^2,~Y=\beta x^2, то

|f(x,Y)-f(x,y)|=\frac{4}{|x|}\frac{1-\alpha\beta}{(1+\alpha^2)(1+\beta^2)}|Y-y|,

и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат O(0,0) , так как множитель при |Y-y| оказывается неограниченным при x\to0 .

Данное дифференциальное уравнение допускает решение y=C^2-\sqrt{x^4+C^4}, где C - произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.

Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

Y=\varphi(x,C),

зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

2) каково бы ни было начальное условие

\Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,

можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .

Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y"=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.

Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y"=(x+C)"=1.

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.

В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .

Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

Пример 2. Проверить, что функция y=Ce^x есть общее решение уравнения y"-y=0 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=1}=-1. .

Решение. Имеем y=Ce^x,~y"=Ce^x . Подставляя в данное уравнение выражения y и y" , получаем Ce^x-Ce^x\equiv0 , т. е. функция y=Ce^x удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной C .

Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Подставив x_0 и y_0 вместо x и y в функцию y=Ce^x , будем иметь y_0=Ce^{x_0} , откуда C=y_0e^{-x_0} . Функция y=y_0e^{x-x_0} удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая x=x_0 , получим y=y_0e^{x_0-x_0}=y_0 . Функция y=Ce^x есть общее решение данного уравнения.

При x_0=1 и y_0=-1 получим частное решение y=-e^{x-1} .

С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).

Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!