Интуитивное представление о числе, по–видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей. То, что первобытные люди сначала знали только “один”, “два” и “много”, подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми. Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово “три” использовалось только в сочетаниях “три дерева” или “три человека”; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова “один” и “первый”, равно как “два” и “второй”, во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета “один”, “два”, “много”, слова “три” и “третий”, “четыре” и “четвертый” ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.
Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по–видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.
Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово “двадцать три” – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий “два раза по десять и три”. Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерений или вычислений использовались основания 12 и 60.
Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.
Основные виды чисел
В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности .
Для представления целого положительного числа х в памяти компьютера, оно переводится в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичной системе счисления х 2 представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа х 10 . Для записи отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.
Представление действительных чисел в памяти компьютера (в вычислительной технике для их обозначения используется термин число с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Так, лишь некоторые из действительных чисел могут быть без потерь в точности представлены в памяти компьютера. В наиболее распространённой схеме число с плавающей запятой записывается в виде блока битов часть из которых представляют собой мантиссу числа, часть - степень, а один бит выделяется для представления знака числа (в случае необходимости знаковый бит может отсутствовать).
Современный симбиоз физики и математики приводит также и к радикальному переосмыслению употребляемых в математике базовых понятий, среди которых наиболее фундаментальное значение имеет это понятие.
Что входит в понятие числа
Число есть основной предмет физического знания. Физика изучает число. Физика изучает эффекты, возникающие в связи с существованием числа. Число есть форма существования времени в природе. Число есть реальный объект физики. Число - волна и частица одновременно. Число есть реальный объект, элемент времени, вещь, предмет времени, который, с точки зрения исследователя, есть и волна, и частица. Число, таким образом, есть предмет, осуществляющий колебательные и волновые процессы. Число излучает.
Форма существования числа есть колебание - гармонические колебания, механические гармонические колебания, свободные гармонические колебания в электрическом колебательном контуре, затухающие и вынужденные колебания.
Понятие числа. Квантовая физика ближе всех других разделов физики подошла к истинному, но не явному объекту современной физики - к числу. Действительный объект физики есть число.
Пространство состоит из чисел. Одна реальная бесконечность числового ряда (счетная бесконечность) и есть пространство само по себе.
Одна реальная бесконечность числового ряда есть «поле». Бесконечный числовой ряд и есть консистенция «природы», он есть процесс времени как материи всякого осуществления. Число, универсальное и конкретное, и есть реальность, скрывающаяся под именем «тело» в классической механике. Только число и есть. Внутренние отношения числового ряда и образуют прозрачное пространство физики.
В. И. Шилов
«Скорость», «ускорение», «импульс», «инерция», «энергия», «тепловое движение», «работа», «флуктуации», «электрическое поле», «электрический заряд», «электрический ток», «диэлектрик», «полупроводник», «плазма», «магнитное поле», «атом», «индукция», «электрический ток», «колебания», «волны», «тепловое излучение», «фотон», «радиоактивность», «фундаментальные взаимодействия элементарных частиц» - и все это измеряется числом.
Поэтому число есть изначальный предмет физики, совпадающий с сущностью математики. Все физические эксперименты есть эксперименты «внутри» числового ряда, эксперименты с конкретными числами, эксперименты в области взаимодействия чисел, эксперименты, опирающиеся на реальную бесконечность одного, но реально существующего числового ряда.
Само различие типов чисел есть действительная физическая реальность физических процессов, представленных в разделах современной физики. Различие типов чисел есть реальная форма различия физических взаимодействий и видов физической материи.
Типы чисел отражают все многообразие физических процессов и являются изучаемой формой этого многообразия. Итак:
Делимость числа есть конкретная физическая сущность физического процесса.
Неделимое, простое число является последним истинным объектом физики.
В этой статье мы начнем изучать рациональные числа . Здесь мы дадим определения рациональных чисел, дадим необходимые пояснения и приведем примеры рациональных чисел. После этого остановимся на том, как определить, является ли данное число рациональным или нет.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных чисел
В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа , подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа , противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.
Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.
Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:
- Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любое натуральное число в виде обыкновенной дроби , например, 3=3/1 .
- Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .
- Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.
- Любое смешанное число . Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и .
- Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь . Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, , а 0,(3)=1/3 .
Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.
Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 , 903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа .
Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.
Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.
Определение.
Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.
Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления , тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и . Таким образом, , что и является доказательством.
Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа −5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.
Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.
Определение.
Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.
Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 , −13,0 , 0,8 и −7,(18) .
Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:
- целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;
- каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;
- каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.
Является ли данное число рациональным?
В предыдущем пункте мы выяснили, что любое натуральное число, любое целое число, любая обыкновенная дробь, любое смешанное число, любая конечная десятичная дробь, а также любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Это знание нам позволяет «узнавать» рациональные числа из множества написанных чисел.
Но как быть, если число задано в виде некоторого , или как , и т.п., как ответить на вопрос, является ли данное число рациональным? Во многих случаях ответить на него очень сложно. Укажем некоторые направления ходу мысли.
Если число задано в виде числового выражения, которое содержит лишь рациональные числа и знаки арифметических действий (+, −, · и:), то значение этого выражения представляет собой рациональное число. Это следует из того, как определены действия с рациональными числами . Например, выполнив все действия в выражении , мы получаем рациональное число 18 .
Иногда, после упрощения выражений и более сложного вида, появляется возможность определить, рационально ли заданное число.
Пойдем дальше. Число 2 является рациональным числом, так как любое натуральное число является рациональным. А как насчет числа ? Является ли оно рациональным? Оказывается, что нет, - не является рациональным числом, это иррациональное число (доказательство этого факта методом от противного приведено в учебнике по алгебре за 8 класс, указанном ниже в списке литературы). Также доказано, что квадратный корень из натурального числа является рациональным числом только в тех случаях, когда под корнем находится число, являющееся полным квадратом некоторого натурального числа. Например, и - рациональные числа, так как 81=9 2 и 1 024=32 2 , а числа и не являются рациональными, так как числа 7 и 199 не являются полными квадратами натуральных чисел.
А число рационально или нет? В данном случае несложно заметить, что , следовательно, данное число – рациональное. А является ли число рациональным? Доказано, что корень k-ой степени из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под знаком корня является k-ой степенью некоторого целого числа. Поэтому не является рациональным числом, так как не существует целого числа, пятая степень которого равна 121 .
Метод от противного позволяет доказывать, что логарифмы некоторых чисел по некоторым основаниям не являются рациональными числами. Для примера докажем, что - не рациональное число.
Предположим противное, то есть, допустим, что - рациональное число и его можно записать в виде обыкновенной дроби m/n . Тогда и дают следующие равенства: . Последнее равенство невозможно, так как в левой его части находится нечетное число 5 n , а в правой части – четное число 2 m . Следовательно, наше предположение неверно, таким образом, не является рациональным числом.
В заключение стоит особо отметить, что при выяснении рациональности или иррациональности чисел следует воздержаться от скоропостижных выводов.
Например, не стоит сразу утверждать, что произведение иррациональных чисел π и e является иррациональным числом, это «как бы очевидно», но не доказано. При этом возникает вопрос: «А с чего бы произведению быть рациональным числом»? А почему бы и нет, ведь можно привести пример иррациональных чисел, произведение которых дает рациональное число: .
Также неизвестно, являются ли числа и многие другие числа рациональными или не являются таковыми. Например, существуют иррациональные числа, иррациональная степень которых является рациональным числом. Для иллюстрации приведем степень вида , основание данной степени и показатель степени не являются рациональными числами, но , а 3 – рациональное число.
Список литературы.
- Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
Словосочетание «числовые множества » довольно часто встречается в учебниках математики. Там очень часто можно встретить фразы такого плана:
«Бла-бла-бла, где принадлежит множеству натуральных чисел».
Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись . Она означает то же что и текст немного выше — число принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают внимания в каком множестве определена та или иная переменная. В результате применяться совершенно неверные методы при решении задачи или доказательстве теоремы. Это происходит из-за того, что свойства чисел принадлежащих различным множествам могут иметь различия.
Числовых множеств не так уж и много. Ниже можно увидеть определения различных числовых множеств.
Множество натуральных чисел включает в себя все целые числа больше нуля — положительные целые числа.
Например: 1, 3, 20, 3057. Множество не включает в себя цифру 0.
В это числовое множество входят все целые числа больше и меньше нуля, а так же ноль .
Например: -15, 0, 139.
Рациональные числа, вообще говоря, представляют собой множество дробей, которые не сокращаются (если дробь сокращается, то это уже будет целое число, и для этого случая не стоит вводить еще одно числовое множество).
Пример чисел входящих в рациональное множество: 3/5, 9/7, 1/2.
,
где – конечная последовательность цифр целой части числа, принадлежащего множеству вещественных чисел. Эта последовательность является конечной, то есть количество цифр в целофй части вещественного числа конечное количество.
– бесконечная последовательность чисел, стоящих в дробной части вещественного числа. Выходит, что в дробной части присутствует бесконечное количество чисел.
Такие числа невозможно представить в виде дроби. В противном случае, подобное число можно было бы отнести к множеству рациональных чисел.
Примеры вещественных чисел:
Давайте рассмотрим значение корня из двух внимательнее. В целочисленной части представлена только одна цифра — 1, поэтому мы можем записать:
В дробной части (после точки) последовательно идут числа 4, 1, 4, 2 и так далее. Поэтому для первых четырех цифр можно записать:
Смею надеяться, что теперь запись определения множества вещественных чисел стала понятней.
Заключение
Следует помнить, что одна и та же функция может проявлять совершенно разные свойства в зависимости от того к какому множеству будет принадлежать переменная. Так что помните основы – они вам пригодятся.
Post Views: 5 061