Коротко: сумма подпространств называется прямой, если разложение любого вектора суммы по подпространствам единственно.

Прямая сумма подпространств – не есть какая-то новая операция над подпространствами. Это просто некоторое свойство ранее введенной суммы подпространств.

Если сумма подпространств прямая, то пересечение этих подпространств состоит из одного – нулевого - вектора.

Критерий прямой суммы подпространств

Для подпространств конечномерного линейного пространства следующие утверждения равносильны:

1) Сумма подпространств - прямая

2) Совокупность базисов подпространств линейно независима

3) Совокупность базисов подпространств образует базис суммы подпространств https://pandia.ru/text/78/133/images/image080_0.gif" width="140" height="46">

5) Существует вектор из суммы , для которого разложение по подпространствам единственно.

6) Произвольная система ненулевых векторов , взятых по одному из каждого линейного подпространства , линейно независима

7) Пересечение линейных подпространств - только ноль-вектор: https://pandia.ru/text/78/133/images/image085_0.gif" width="19" height="20 src="> называется дополнительным подпространством к L, если . Очевидно, что L – дополнительное подпространство к .

Образно выражаясь, дополнительное подпространство как бы «дополняет» подпространство до полного пространства.

Теорема о существовании дополнительного подпространства

Для любого подпространства линейного пространства https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18 height=24" height="24"> - некоторый вектор пространства V. Множество H, состоящее из всех векторов вида , где https://pandia.ru/text/78/133/images/image088_0.gif" width="18" height="24 src=">).

Направляющее подпространство

Подпространство L в определении линейного многообразия называется направляющим подпространством линейного многообразия H.

Фактор-пространство

Пусть V – линейное пространство над полем P, L – его подпространство. Фактор-пространством линейного пространства V по подпространству L (обозначается V/L) называется множество, состоящее из классов эквивалентности H. Эти классы соответствуют всем линейным многообразиям, полученным из подпространства L: .

Правило определяет внешний закон композиции на V/L (умножение элемента H из V/L на число (или элемент основного поля P) α, правило - внутренний закон композиции (сложение двух элементов – H1 и H2 - из V/L) .

2.4. Подпространство решений однородной СЛАУ

Подпространства, задаваемые однородной системой линейных алгебраических уравнений

Это совокупность решений однородной системы линейных уравнений , где A – матрица коэффициентов линейных уравнений системы.

Лекция № 5. Раздел 3. Подпространства евклидова (унитарного) линейного пространства

3.1. Ортогональное дополнение к подпространству

Вектор, ортогональный к подпространству

Пусть L – линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства . Вектор x называется ортогональным к подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства. Обозначение: .

Ортогональное дополнение к подпространству

Пусть L – линейное подпространство евклидова пространства . Совокупность всех векторов https://pandia.ru/text/78/133/images/image098_0.gif" width="20" height="20 src=">.

Теорема об ортогональном дополнении как подпространстве

Ортогональное дополнение к подпространству является линейным подпространством того же пространства.

3.2. Ортогональная проекция, ортогональная составляющая

Ортогональная проекция вектора на подпространство

Пусть L – линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства https://pandia.ru/text/78/133/images/image099_0.gif" width="69" height="27 src="> в виде суммы: , где https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">. Вектор g называется ортогональной проекцией вектора f на подпространство L, вектор h называется ортогональной составляющей.

Ортогональная составляющая вектора

Ортогональной составляющей вектора f относительно подпространства L евклидова (унитарного) пространства https://pandia.ru/text/78/133/images/image100_0.gif" width="65" height="21 src=">, где .gif" width="43" height="27 src="> называется вектор h в разложении , где https://pandia.ru/text/78/133/images/image102_0.gif" width="41" height="19">.

Наклонная к подпространству

Вектор f в разложении https://pandia.ru/text/78/133/images/image101_0.gif" width="40" height="21">.gif" width="43" height="27 src=">.

Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения

Если - линейное подпространство пространства , то прямая сумма этого линейного подпространства и его ортогонального дополнения образует всё пространство : https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - линейное подпространство пространства , то для любого вектора существует, и притом единственное, представление f в виде суммы:https://pandia.ru/text/78/133/images/image105_0.gif" width="90" height="21">.

3.3. Расстояние от вектора до подпространства

Расстояние от вектора до подпространства

Расстоянием от вектора до подпространства называется длина перпендикуляра, опущенного из этого вектора на подпространство (то есть, длина ортогональной составляющей вектора относительно данного подпространства).

Лекция № 6. Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы.

4.1. Линейная форма

4.2. Билинейная форма

4.1. Линейная форма

Линейная функция (линейная форма)

Пусть - линейное пространство над полем . Функция f , отображающая вектор из пространства в число (элемент поля https://pandia.ru/text/78/133/images/image107_0.gif" width="36" height="21">, называется линейной , если:

1) для всех векторов https://pandia.ru/text/78/133/images/image110_0.gif" width="121 height=21" height="21"> для любого числа a (элемента поля ) и любого вектора

Запись любой линейной формы в некотором (произвольном) базисе e выглядит так:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image114_0.gif" width="111" height="20">.gif" width="74" height="24">, - числа (элементы поля P), зависящие от базиса e и, конечно, от формы f.

Заметим, что при выборе другого базиса e a 1", a 2", …, a n".

Матрица линейной формы

Матрицей A линейной формы f в базисе называется матрица-строка, состоящая из чисел - результатов действия линейной формы на векторы этого базиса:

A = (a 1, a 2, …, a n) = .

Пусть X = - координаты вектора x в базисе e , A – матрица линейной формы f в том же базисе. Тогда значение f (x ) равно произведению матрицы A на столбец X:

f (x ) = A·X.

Теорема об изменении матрицы линейной формы при переходе от одного базиса к другому

При переходе от базиса к базису https://pandia.ru/text/78/133/images/image120_0.gif" width="36" height="27 src=">) матрица линейной формы изменяется следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image087_0.gif" width="15" height="18"> - линейное пространство над полем . (числовая) Функция a двух векторных аргументов https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу:

2)

4)

- любые векторы пространства L, - произвольное число (элемент поля P).

Запись любой билинейной формы https://pandia.ru/text/78/133/images/image130_0.gif" width="514" height="27 src=">,

где (x 1, x 2, …, x n) и (y 1, y 2, …, y n) – координаты в базисе e векторов x и y соответственно, a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn – набор из n2 чисел (элементов поля P).

Заметим, что числа a 11, a 12, …, a 1n, …, a nn зависят от базиса e и, конечно, от самой формы a . При выборе другого базиса e " соответствующий набор чисел будет, вообще говоря, другим: a 11", a 12", …, a nn".

Матрица билинейной формы

Пусть дана билинейная форма и некоторый (произвольный) базис e .

Запишем действие билинейной формы в этом базисе:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27 src=">в базисе e называется следующая матрица:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27">на (упорядоченную) пару векторов базиса (e i , e j ). Таким образом:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image133_0.gif" width="100" height="29 src="> является матрицей единственной билинейной формы в заданном (фиксированном) базисе пространства.

Теорема об изменении матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому

При переходе от базиса к базису (матрица перехода https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140" height="27 src=">

Ранг билинейной формы

Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе.

(не) Вырожденная билинейная форма

Билинейная форма называется вырожденной, если , и невырожденной, если https://pandia.ru/text/78/133/images/image123_0.gif" width="50" height="27"> называется симметричной, если для . Билинейная форма называется кососимметричной (или кососимметрической), если для https://pandia.ru/text/78/133/images/image140_0.gif" width="192" height="27 src=">.

Замечание:

Матрица кососимметрической билинейной формы (в любом базисе) является кососимметрической: , для всех i , j . В частности, для всех i выполняется равенствоDIV_ADBLOCK81">

4.3. Квадратичная форма

Билинейные и квадратичные формы в произвольном линейном пространстве

4.3. Квадратичная форма

Квадратичная форма

Пусть дана симметричная билинейная форма https://pandia.ru/text/78/133/images/image138_0.gif" width="114" height="27">. Рассмотрим действие этой билинейной формы только на парах совпадающих векторов, т. е. a (x , x ). Получим функцию, ставящую в соответствие каждому вектору x линейного пространства число (элемент основного поля P) f (x ) = a (x , x ). Функция f (x ) = называется квадратичной формой, соответствующей данной симметричной билинейной форме https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27 src="> называется соответствующая симметричная билинейная форма .

Теорема о полярной билинейной форме

Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.

Матрица квадратичной формы

Матрицей квадратичной формы называется матрица ее полярной билинейной формы.

Ранг квадратичной формы

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы в произвольном базисе.

(не) вырожденная квадратичная форма

Квадратичная форма называется вырожденной, если https://pandia.ru/text/78/133/images/image145_0.gif" width="120" height="27 src=">.

Свойства матрицы квадратичной формы

1) Матрица квадратичной формы симметрична

2) Любая квадратная симметричная матрица является матрицей единственной квадратичной формы в заданном базисе

3) При переходе от базиса к базису (матрица перехода https://pandia.ru/text/78/133/images/image134_0.gif" width="140 height=27" height="27">

4) Пусть - произвольный фиксированный базис. Пусть квадратичная форма f (x ) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image146_0.gif" width="64" height="29 src=">, а произвольный вектор x имеет в этом же базисе координаты (x 1, x 2, …, x n). Тогда результат действия квадратичной формы на вектор x может быть записан в виде

f (x ) = ,

или в более компактной форме:

f (x ) =

где X = - столбец координат вектора x в базисе e

4.4. Канонический вид квадратичной формы

Канонический вид квадратичной формы

Каноническим видом квадратичной формы называется ее запись, содержащая только квадраты переменных:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image150_0.gif" width="43" height="24"> (некоторые из которых могут равняться нулю) называются каноническими коэффициентами квадратичной формы.

Очевидно, что количество ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы совпадает с ее рангом.

Канонический базис квадратичной формы

f (x ) = a (x , x ),

если запись этой формы в этом базисе является канонической, то есть содержащей только квадраты переменных:

матричном языке" звучит так:

Базис называется каноническим базисом квадратичной формы f (x ) = a (x , x ),

если матрица Ae этой формы в этом базисе имеет диагональный вид:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image153_0.gif" width="589" height="25 src=">

2. Вынести за скобки коэффициент (≠ 0) при квадрате этой переменной:

DIV_ADBLOCK83">

Замечание.

Если возвести в квадрат записанную сумму и умножить на коэффициент, вынесенный за скобки, то в результате получатся все слагаемые, содержащие переменную x 1, входившие в запись квадратичной формы. Одновременно возникнут (и довольно много) слагаемые, не входившие в первоначальную запись квадратичной формы. Но все "новые" слагаемые не содержат переменной x 1.

Таким образом, запись квадратичной формы приобретает следующий вид:

скобок". Сделав замену переменных, при которой "первую скобку" обозначим через x 1", вторую – через x 2", и т. д., получим следующую запись квадратичной формы, слагаемые в которой содержат только квадраты переменных:

https://pandia.ru/text/78/133/images/image158_0.gif" width="84" height="51 src=">

В результате такой замены слагаемое aijxixj , содержащее произведение переменных xi и xj , преобразуется в два слагаемых, уже содержащих квадраты переменных xi " и xj ":

DIV_ADBLOCK84">

Теорема о существовании ортонормированного канонического базиса (приведение к главным осям).

Для любой квадратичной формы в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором она имеет канонический вид.

Формулы Якоби

Если в матрице квадратичной формы f (x ) ранга первые https://pandia.ru/text/78/133/images/image161_0.gif" width="88" height="27 src="> , то существует базис e , в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид

При этом канонические коэффициенты λ i квадратичной формы связаны с угловыми минорами Δi следующими соотношениями: ,

которые называются формулами Якоби.

Лекция № 8. Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы.

Билинейные и квадратичные формы

в вещественном (действительном) линейном пространстве.

4.5. Индексы инерции квадратичной формы

Индексы инерции квадратичной формы

Пусть квадратичная форма f (x ) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image164_0.gif" width="50" height="46 src=">. Число положительных коэффициентов равен числу перемен знаков в этой последовательности.

4.6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Знакоопределенная квадратичная форма

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает только положительные (отрицательные) значения на всех ненулевых векторах: (f (x ) = https://pandia.ru/text/78/133/images/image170.gif" width="48" height="19 src=">. Такие формы называют знакоопределенными.

Знакопеременная квадратичная форма

Квадратичная форма, для которой существуют векторы https://pandia.ru/text/78/133/images/image172.gif" width="15" height="18"> такие, что f (x ) = > 0 и f (y ) = < 0 называется знакопеременной.

Критерий знакоопределенности квадратичной формы

Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда ее положительный (соответственно, отрицательный) индекс инерции совпадает с размерностью пространства.

То есть, в любом каноническом виде положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы в n-мерном пространстве

https://pandia.ru/text/78/133/images/image143_0.gif" width="49" height="27">.gif" width="151 height=99" height="99">

Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее угловые миноры положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки ее угловых миноров чередуются, причем shortcodes">

Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Заданы :
две координаты вектора
три координаты вектора
a: ; ;
b: ; ;

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.