аргумент величина квадрат отклонение распределение
Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.
Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .
Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .
Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.
В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.
1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на участке, случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.
Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y: .
Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее (рис. 1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,
Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда
Дифференцируя интеграл (2) по переменной у, входящей в верхний предел, получим:
2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 2). В этом случае
Сравнивая формулы (3) и (5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:
Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (5) стоит минус. Следовательно, формула (6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.
3. Рассмотрим случай, когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 3).
Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .
Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому
Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:
Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:
Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.
Найти закон распределения величины.
16.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины , будем решать задачу именно для них.Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x ) . Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .
Требуется найти плотность распределения величины Y . Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X , т. е. .
Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.
В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.
1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на
участке, случайная точка (X , Y ) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.
Обозначим плотность распределения величины Y . Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y : .
Проведем прямую АВ , параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее(рис. 6.1.1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X , Y ) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x , где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ . Следовательно,
(6.1.1) Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда
(6.1.2) Дифференцируя интеграл (6.1.2) по переменной у , входящей в верхний предел, получим:
(6.1.3) 2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 6.1.2). В этом случае
(6.1.4) откуда
(6.1.5) Сравнивая формулы (6.1.3) и (6.1.5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:
(6.1.6)
Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (6.1.5) стоит минус. Следовательно, формула (6.1.6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.
3. Рассмотрим случай когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 6.1.3).
Найдем функцию распределения G (y ) величины Y . Для этого снова проведем прямую АВ , параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .
Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому
(6.1.7) Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:
(6.1.8) Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у . Дифференцируя G (y ) по величине у , входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y :
(6.1.9) Пример . Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо.
Найти закон распределения величины.
Решение. Строим график функции (рис. 6.1.4). Очевидно, и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (6.1.8), имеем:
Выразим пределы и через у : ; . Тогда
.(6.1.10) Чтобы найти плотность g (у ) продифференцируем это выражение по переменной у , входящей в пределы интегралов, получим:
Имея в виду, что , получим:
(6.1.11) Указывая для Y закон распределения (6.1.11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т.е. в тех пределах, в которых изменяется при аргументе X , заключенном в интервале от, до. Вне этих пределов плотность g (у )равна нулю.
График функции g (у ) дан на рис.6.1.5. При у =1 кривая g (у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.
26.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
Изложим общий метод решения задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.Имеется система двух непрерывных случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x , y ) . Случайная величина Z связана с X и Y функциональной зависимостью:
Требуется найти закон распределения величины Z.
Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией. Функия изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 6.2.1).
Найдем функцию распределения величины Z:
(6.2.1) Проведем плоскость Q, параллельную плоскости хОу , на расстоянии z от нее. Эта плоскость пересечет поверхность по некоторой кривой К . Спроектируем кривую К на плоскость хОу . Эта проекция, уравнение которой, разделит плоскость хОу на две области; для одной из них высота поверхности над плоскостью хОу будет меньше, а для другой - больше z . Обозначим D ту область, для которой эта высота меньше z . Чтобы выполнялось неравенство (6.2.1), случайная точка (X , Y ) очевидно, должна попасть в область D ; следовательно,
(6.2.2) В выражение (6.2.2) величина z входит неявно, через пределы интегрирования.
Дифференцируя G (z ) по z , получим плотность распределения величины Z :
(6.2.3) Зная конкретный вид функции, можно выразить пределы интегрирования через z и написать выражение g (z ) в явном виде.
36.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
Воспользуемся изложенным выше общим методом для решения одной задачи, а именно для нахождения закона распределения суммы двух случайных величин. Имеется система двух случайных величин (X , Y ) с плотностью распределения f (x , у ) . Рассмотрим сумму случайных величин X и Y : и найдем закон распределения величины Z . Для этого построим на плоскости хОу линию, уравнение которой (рис. 6.3.1). Это - прямая, отсекающая на осях отрезки, равные z . Прямая делит плоскость хОу на две части ; правее и выше ее; левее и нижеОбласть D в данном случае - левая нижняя часть плоскости хОу , заштрихованная на рис. 6.3.1. Согласно формуле (6.3.2) имеем:
Дифференцируя это выражение по переменной z , входящей в верхний предел внутреннего интеграла, получим:
(6.3.1) Это - общая формула для плотности распределения суммы двух случайных величин.
Из соображений симметричности задачи относительно X и Y можно написать другой вариант той же формулы:
(6.3.2) который равносилен первому и может применяться вместо него.
Пример композиции нормальных законов . Рассмотрим две независимые случайные величины X и Y , подчиненные нормальным законам:
Требуется произвести композицию этих законов, т. е. найти закон распределения величины: .
Применим общую формулу для композиции законов распределения:
(6.3.3) Если раскрыть скобки в показателе степени подынтегральной функции и привести подобные члены, получим:
Подставляя эти выражения в уже встречавшуюся нам формулу
(6.3.4) после преобразований получим:
(6.3.5) а это есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеивания
(6.3.6) и среднеквадратическим отклонением
(6.3.7) К тому же выводу можно прийти значительно проще с помощью следующих качественных рассуждений.
Не раскрывая скобок и не производя преобразований в подынтегральной функции (6.3.3), сразу приходим к выводу, что показатель степени есть квадратный трехчлен относительно х вида
где в коэффициент А величина z не входит совсем, в коэффициент В входит в первой степени, а в коэффициент С - в квадрате. Имея это в виду и применяя формулу(6.3.4), приходим к заключению, что g (z ) есть показательная функция, показатель степени которой - квадратный трехчлен относительно z , а плотность аспределения; такого вида соответствует нормальному закону. Таким образом, мы; приходим к чисто качественному выводу: закон распределения величины z должен быть нормальным. Чтобы найти параметры этого закона - и - воспользуемся теоремой сложения математических ожиданий и теоремой сложения дисперсий. По теореме сложения математических ожиданий. По теореме сложения дисперсий или откуда следует формула (6.3.7).
Переходя от среднеквадратических отклонений к пропорциональным им вероятным отклонениям, получим: .
Таким образом, мы пришли к следующему правилу: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон, причем математические ожидания и дисперсии (или квадраты вероятных отклонений) суммируются.
Правило композиции нормальных законов может быть обобщено на случай произвольного числа независимых случайных величин.
Если имеется n независимых случайных величин: подчиненных нормальным законам с центрами рассеивания и среднеквадратическими отклонениями,то величина также подчинена нормальному закону с параметрами
(6.3.8) (6.3.9) Вместо формулы (6.3.9) можно применять равносильную ей формулу:
Если система случайных величин (X , Y ) распределена по нормальному закону, но величины X , Y зависимы, то нетрудно доказать, так же как раньше, исходя из общей формулы (6.3.1), что закон распределения величины есть тоже нормальный закон. Центры рассеивания по-прежнему складываются алгебраически, но для среднеквадратических отклонений правило становится более сложным: , где, r - коэффициент корреляции величин X и Y .
При сложении нескольких зависимых случайных величин, подчиненных в своей совокупности нормальному закону, закон распределения суммы также оказывается нормальным с параметрами
(6.3.10)(6.3.11) или в вероятных отклонениях
где - коэффициент корреляции величин X i , X j , а суммирование распространяется на все различные попарные комбинации величин.
Мы убедились в весьма важном свойстве нормального закона: при композиции нормальных законов получается снова нормальный закон. Это - так называемое «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов этого типа получается снова закон того же типа. Выше мы показали, что нормальный закон является устойчивым. Свойством устойчивости обладают весьма немногие законы распределения. Закон равномерной плотности неустойчив: при композиции двух законов равномерной плотности на участках от 0 до 1 мы получили закон Симпсона.
Устойчивость нормального закона - одно из существенных условий его широкого распространения на практике. Однако свойством устойчивости, кроме нормального, обладают и некоторые другие законы распределения. Особенностью нормального закона является то, что при композиции достаточно большого числа практически произвольных законов распределения суммарный закон оказывается сколь угодно близок к нормальному вне зависимости от того, каковы были законы распределения слагаемых. Это можно проиллюстрировать , например, составляя композицию трех законов равномерной плотности на участках от 0 до 1. Получающийся при этом закон распределения g (z ) изображен на рис. 6.3.1. Как видно из чертежа, график функции g (z ) весьма напоминает график нормального закона.
46.4. Распределение произведения.
Пусть, где и - скалярные случайные величины с совместной плотностью распределения. Найдем распределение Y .(6.4.1)
На рис. событие показано штриховкой. Теперь очевидно, что
5(6.4.2) (6.4.3) 6.5. Распределение квадрата случайной величины.
Пусть; X - непрерыная случайная величина с плотностью. Найдем. Если, то и. В том случае, когда получаем:(6.5.1) (6.5.2) В частном случае, когда, имеем:
(6.5.3) Если при этом, то
6(6.5.4) 6.6. Распределение частного.
Пусть; X - непрерывная случайная величина с плотностью. Найдем.(6.6.1)
На рис. 6.6.1 видно, что событие - изображают заштрихованные области. Поэтому
(6.6.2) (6.6.3) Если; ; независимы, то легко получить:
(6.6.4) Распределение (6.6.4) носит имя Коши. Оказывается, это распределение не имеет математического ожидания и дисперсии.
76.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
Рассмотрим следующую задачу: случайная величина Y есть функция нескольких случайных величин;(6.7.1) Пусть нам известен закон распределения системы аргументов;требуется найти числовые характеристики величины Y , в первую очередь-математическое ожидание и дисперсию.
Представим себе, что нам удалось найти закон распределения g (у) величины Y . Тогда задача об определении числовых характеристик становится простой; они находятся по формулам:
(6.7.2) (6.7.3) Однако задача нахождения закона распределения g (y ) величины Y часто оказывается довольно сложной. Для решения поставленной задачи нахождение закона распределения величины Y не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины Y , нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов.
Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин, не определяя законов распределения этих функций.
Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая - функции одного аргумента.
Имеется случайная величина X с заданным законом распределения; другая случайная величина Y связана с X функциональной зависимостью: Y = (Х ).
Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание:
(6.7.4) Рассмотрим сначала случай, когда X есть дискретная случайная величина с рядом распределения:
x i X 1 x 2 …x n p i P 1 p 2 …p n Запишем в виде таблицы возможные значения величины Y и вероятности этих значений:
(x i ) (x 1 ) (x 2 ) …(x n )p i P 1 P 2 …p n Таблица 6.7.2 не является рядом распределения величины Y , так как в общем случае некоторые из значений
(6.7.5) могут совпадать между собой. Для того чтобы от таблицы (6.7.1) перейти к подлинному ряду распределения величины Y , нужно было бы расположить значения (6.7.5) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствующие равным между собой значениям Y , и сложить соответствующие вероятности. Математическое ожидание величины Y можно определить по формуле
(6.7.6) Очевидно, величина т у - М ((Х )), определяемая по формуле (6.7.6), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.
В формуле (6.7.6) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции , а доста точно знать закон распределения аргумента .
Заменяя в формуле (6.7.6) сумму интегралом, а вероятность р i - элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерывной случайной величины:
(6.7.7) где f (x ) X .
Аналогично может быть определено математическое ожидание функции у (Х , Y ) от двух случайных аргументов X и Y . Для дискретных величин
(6.7.8) где - вероятность того, что система (X , Y )примет значения (x i y j ). Для непрерывных величин
(6.7.9) где f (x , у )- плотность распределения системы (X , Y ).
Аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:
(6.7.10) где - плотность распределения системы.
Формулы типа (6.7.10) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.
Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распределения функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции - моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии , причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.
Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой
(6.7.11) где т = М [(x )] - математическое ожидание функции (X );f (х ) - плотность распределения величины X .
Аналогично выражается дисперсия функции двух случайных аргументов:
(6.7.12) где - математическое ожидание функции (Х , Y ); f (x , у) - плотность распределения системы (X , Y ). Наконец, в случае произвольного числа случайных аргументов, в аналогичных обозначениях.
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х и записывают Y=φ(Х). Если Х – дискретная случайная величина и функция Y=φ(Х) – монотонная, то . Если φ(Х) – немонотонная функция, то различным значениям Х могут соответствовать одинаковые значения Y, тогда вероятности возможных значений Х, при которых Y принимает одинаковые значения следует сложить.
Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью f(x), а y=φ(x) дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная для которой x=ψ(y) то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства
Если функция φ(x) не монотонна на интервале возможных значений Х, то этот интервал следует разбить на интервалы монотонности, найти плотность для каждого интервала, а затем результаты просуммировать.
Математическое ожидание функции Y=φ(Х) вычисляется по формулам:
или
,
а дисперсия –
Пример 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Найти закон распределения случайной величины Y=X 2 , математическое ожидание M(Y), D(Y) и σ(Y).
Решение. Найдем возможные значения Y:
Найдем вероятности возможных значений
Следовательно, закон распределения величины Y имеет вид
Пример 2 . Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=x+0,5 в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) плотность распределения функции Y=X 2 ; б) математическое ожидание M(Y); в) дисперсию D(Y).
Решение.
а) Так как функция y=x 2 на промежутке
(0,1) строго возрастает и имеет обратную
,
то
б)
Математическое ожидание можно найти другим способом:
.
3. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание функции Y=φ(X)=X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y).
4. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) =cos(x) в интервале (0, π/2); вне этого интервала f(x) =0. Найти дисперсию функции Y = φ(Х)=Х2, не находя предварительно плотности распределения Y. Для решения используем формулу
и
то, что
.
5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).
7. Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (0,∞). Найти плотность распределения g(у) случайной величины Y, если: а) Y=e -х; б) Y=ln(X); в)Y=X 2 ; г) Y=1/X 2 ; д) Y=Х 3 .
8. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, π/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины Y=sin(X).
9. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (-π/2, π/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины У=cos(X).
В предыдущей главе мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций с. в. и показали, что для их отыскания не требуется знать законы распределения этих функций, а достаточно знать законы распределения аргументов. Как было показано, во многих случаях инженерной практики при нахождении числовых характеристик функций с. в. можно обойтись даже без законов распределения аргументов - достаточно знать лишь числовые характеристики этих аргументов.
Однако нередко в инженерных приложениях возникает и задача определения законов распределения функции с. в. Обычно это требуется при определении вероятности попадания этих функций в различные области их возможных значений.
В этом пункте мы будем решать следующую задачу. Имеется непрерывная с. в. Хс плотностью/(х); с. в. Твыражается через с. в. X функциональной зависимостью
Требуется найти закон распределения с. в. Y
Рассмотрим сперва случай, когда функция ср (А) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (а , Ь) всех возможных значений с. в. X Функция распределения G (у) с. в. ^определяется по формуле
Если функция ф (х) монотонно возрастает на всем участке возможных значений с. в. ^(рис. 9.1.1), то событие {Т{Х ф (у)}, где г (у) = х есть функция, обратная функции
Дифференцируя это выражение по величине у, входящей в верхний предел интеграла, получим п. р. случайной величины Y :
Если функция ср (х) на участке (а, Ь) возможных значений с. в. X монотонно убывает (рис. 9.1.2), то событие {Т |/ (у)}. Следовательно,
Рис. 9.1.1
Дифференцируя С (у) по переменной у, входящей в нижний предел, получим п. р. случайной величины Y:
Так как плотность не может быть отрицательной, то формулы (9.1.4) и (9.1.6) можно объединить в одну:
1 В формулах (9.1.3) и (9.1.5) диапазон возможных значений с. в. Сможет быть (- ао, оо), т. е. а = - оо; Ь - оо то возможные значения У- ф (А) определяются из выражения у,- - ф (х;) (/= 1,2,..., п) при этом имеет место равенство
Задача 1. Закон распределения линейной функции одного случайного аргумента. Частным случаем монотонной функции является линейная функция у = ах + Ь, где а, b - неслучайные величины. Пусть Уесть линейная функция непрерывной с. в. Хс плотностью/(х):
Найдем, пользуясь формулой (9.1.7), плотность распределения g (у) случайной величины У. В данном случае обратная функция ф (у) = (у - Ь)/а; ее производная ф" (у) = 1 /а модуль производной 1/|я|. Формула (9.1.7) дает
Пример 1. Случайная величина X распределена по показательному закону
Случайная величина Улинейно выражается через X:
Если с. в. ЛГдискретна и имеет ряд распределения
Решение. В данном случае обратная функция ф (у) = (2 - у)/3. Условие х > 0 в формуле (*) для у переходит в условие у = 2 - Зх
График плотности g (у) показан на рис. 9.1.3.
Пример 2. Найти п. р. линейной функции Y= аХ+ b нормально распределенного аргумента X с характеристиками т х и о*.
Решение. По формуле (9.1.7) имеем
а это есть нормальный закон с характеристиками т у = ат х + b , D y = = а 2 о 2 х; а у = а о х. Таким образом, в результате линейного преобразования нормально распределенной с. в. X получаем с. в. Y, также распределенную по нормальному закону. ?
Пример 3. Непрерывная с. в. X распределена по закону Коши в простейшем (каноническом) виде:
с. в. Тсвязана с ней зависимостью:
Найти плотность распределения с. в. Y.
Решение. Так как функция у = 1 - х 2 монотонна (монотонно убывает) на всем участке (-оо, оо), применим формулу (9.1.7). Решение оформим в виде двух столбцов; в левом будут помешены обозначения функций, принятые в общем решении задачи; в первом - конкретные функции, соответствующие данному примеру.
Пример 4. С. в. X распределена по тому же закону Коши/(х) = = 1/[я (1 + х 2)]; с. в. Тесть величина, обратная X:
Найти ее плотность g (у).
Решение. График функции у = 1/х показан на рис. 9.1.4. Эта функция терпит разрыв второго рода (перескакивает с - оо на + оо) при х = 0; но обратная функция х = 1 /у однозначна, поэтому можно применять ту же формулу (9.1.7), которая выведена для монотонной функции. Решение снова оформим в виде двух столбцов (слева - общий, справа - частный случай):
т. е. обратная величина Y = 1/Х тоже, как и X, имеет распределение Коши. ?
Пример 5. Скорость соударения молекул X распределена по закону Релея с параметром о;
Количество выделяемой энергии Y при соударении молекул определяется по формуле
Найти п. р. с. в. Y.
Решение. При х > О функция (X) монотонна. Решение примера снова располагаем в виде двух столбцов (слева общий случай, справа - частный конкретный случай):
Пример 6. Радиус круга X распределен по закону Релея с параметром а:
Найти закон распределения с. в. Y- площади круга.
Решение. С. в. Y = пХ 2 -функция монотонная при X > 0 у (у) =
= (^/л) 1/2 ; k"OOl=-т=, откуда 2 у}пу
следовательно, с. в. Уимеет показательный закон распределения с па- 1
раметром--. ?
2ко г
Пример 7. Через точку а , лежащую на оси Ор, проводится прямая ab под углом Хк оси Ор (см. рис. 9.1.5). Угол ^распределен равномерно
в интервале + yj. ^ а ^ ти закон распределения с. в. У- абсциссы точки пересечения прямой ab с осью 0%.
Пример 8. Напряжение ^распределено по нормальному закону с параметрами т х, ст х; стабилизируемое напряжение У определяется по формуле
У Решение. С. в. У- смешанная:
где Ф (X) - функция Лапласа. Функция распределения с.в. У имеет вид:
На рис. 9.1.6 показан график G (у). В общем случае, если функция распределения с. в. Хесть F(x), то
Пример 9. Стабилизатор напряжения работает таким образом, что ограничивает напряжение сверху:
Найти функцию распределения с. в. У , если задана функция распределения с. в. X - F(x).
Решение. По аналогии с решением предыдущего примера получаем
Пример 10. Стабилизатор напряжения X работает таким образом, что ограничивает напряжение снизу:
Найти функцию распределения с. в. Y, если задана F(x) - функция распределения с. в. X.
Решение. В соответствии с решением примера 8 получаем
Рассмотрим теперь случай, когда функция у - а, Ь) возможных значений с. в. не монотонна (рис. 9.1.7). В этом случае обратная функция х = |/ (у) неоднозначна.
Число значений обратной функции ц/ (у) зависит от того, какое значение у мы взяли; обозначим эти значения |/i (у), |/2 (у), ..., ф, (у), ... . Событие Y равносильно попаданию с. в. X в один из неперекры- вающихся отрезков, отмеченных жирной линией на рис. 9.1.7, где соответствующая часть кривой у = ф (х) лежит ниже прямой у; в нашем случае эти отрезки будут: от а до i x (у); от ц/ 2 (у) Д° Фз (у), от v|/ 4 (у) до |/ 5 (у) ит. д.; последний отрезок может кончаться точкой Ь, а может и одной из точек у, (у) (это несущественно). Попадания точки Хв эти отрезки - события несовместные; по правилу сложения вероятностей
Учитывая правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его пределы (а именно: производная интеграла по такой переменной равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженному на производную верхнего предела минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умноженное на производную нижнего предела), получим в нашем случае:
В тех точках, где ср (х), пересекая прямую у, убывает (начало соответствующего участка оси абсцисс, для которого Y производная у" (у) отрицательна; она же входит в сумму (9.1.11) со знаком минус; в тех точках, где ф (х) возрастает, ф" (у) (конец участка) она имеет знак плюс. Производные постоянных а и b равны нулю, поэтому безразлично, фигурируют ли точки а и b в виде начала или конца какого-либо участка. Все члены в формуле (9.1.11) положительны, и она принимает очень простой вид:
где к - число значений обратной функции, соответствующее данному у, ф! (у); ф 2 (у);...; ф^ (у) - значения обратной функции, соответствующие данному у.
Задача 2. Закон распределения модуля случай- нойвеличины. Задача ставится следующим образом: дана непрерывная с. в. Xс плотностью/(х) на участке (- оо, + оо); случайная величина Ксвязана с ней соотношением:
Найти плотность распределения с. в. Y.
Решение. Функция у = |х| не монотонна; ее график показан на рис. 9.1.8. Обратная функция при данном у имеет два значения: ?i (у) = - у; Фг (у) = У- По формуле (9.1.12) получим:
(отрицательной случайная величина Y быть не может). В частности, если плотность/(х) симметрична относительно начала координат, т. е. /(-х) =/(х), формула (9.1.13) даст:
Задача 3. Закон распределения квадрата случайной величины. Пусть непрерывная с. в. X имеет плотность /(х); найти плотность распределения ее квадрата.
Решение. Функция у = х 2 не монотонна (рис. 9.1.9); ф, (у) = -у[у ;
у 2 (у) = 4у-
Формула (9.1.12) дает
В частном случае, когда с. в. X имеет нормальное распределение
с параметрами т х
= 0; а х =
1; / (х) = е~ х
^/л/2л, с. в. Уимеет распределение
Кривая этого распределения показана на рис. 9.1.10. ?
Рис. 9.1.9
До сих пор мы рассматривали только случай, когда аргумент функции Y= ф (X) - непрерывная случайная величина. Теперь рассмотрим более простой по существу, но более сложный в записи случай, когда аргумент X - дискретная с. в. с рядом распределения:
Некое «подобие» ряда распределения с. в. Рдаст таблица:
|
ф te) |
|||
Чтобы сделать из нее ряд распределения, нужно, во-первых, расположить значения, стоящие в верхней строке, в порядке возрастания, а, во-вторых, объединить те из них, которые окажутся равными (в силу неоднозначности обратной функции), и сложить соответствующие вероятности. Полученный таким образом ряд и будет рядом распределения с. в. Y.
Пример 11. Дискретная с. в. X имеет ряд распределения:
Построить ряд распределения ее квадрата
Решение. «Неупорядоченный» ряд распределения имеет вид:
Расположим значения с. в. Y в порядке возрастания, объединим равные и сложим их вероятности; получим ряд распределения с. в. Y
Пример 12. Число ^неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром а.
Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа:
где с > 0 - неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба.
Решение. Ряд распределения X имеет вид:
Так как значения Y возрастают вместе со значениями X и среди них нет совпадающих (обратная функция на участке 0, 1, т, ... однозначна), то ряд распределения Тимеет вид:
ЧАСТЬ 6
ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Лекция 11
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих при этом задач; вывести закон распределения функции одного случайного аргумента и закон распределения суммы двух случайных величин; пояснить понятие композиции законов распределения.
Понятие о функции случайной величины
Среди
практических приложений теории
вероятностей особое место занимают
задачи, требующие нахождения законов
распределения и/или числовых характеристик
функций случайных величин. В простейшем
случае задача ставится следующим
образом: на вход технического устройства
поступает случайное воздействие
;
устройство подвергает воздействие
некоторому
функциональному преобразованию
и на выходе дает случайную величину
(см. рис. 6.1). Нам известен закон распределения
случайной величины
,
и требуется найти закон распределения
и/или числовые характеристики случайной
величины
.
Можно
выделить три основные возникающие
задачи:
1.
Зная закон распределения случайной
величины
(или случайного вектора
),
найти закон распределения выходной
случайной величины
(или
).
2.
Зная закон распределения случайной
величины
,
найти только числовые характеристики
выходной случайной величины.
3.
В некоторых случаях (при особых видах
преобразования
)
для нахождения числовых характеристик
выхода не требуется знать закон
распределения входной случайной величины
,
а достаточно знать только его числовые
характеристики.
Рассматриваем
случайную величину
,
зависящую функционально от случайной
величины
,
т. е.
.
Пусть случайная величина
дискретна и известен ее ряд распределения:
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
где
.
При
подаче на вход значения случайной
величины
на выходе получим
с вероятностью
.
И так для всех возможных значений
случайной величины
.
Таким образом, получаем табл. 6.1.
Таблица 6.1
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Полученная
табл. 6.1 в общем случае может не быть
рядом распределения случайной величины
,
так как значения в верхней строке таблицы
могут быть расположены в невозрастающем
порядке, а некоторые
могут даже совпадать.
Для преобразования табл. 6.1 в ряд
распределения случайной величины
необходимо упорядочить возможные
значения
по возрастанию, а вероятности совпадающих
значений
нужно сложить.
Для
нахождения числовых характеристик
случайной величины
преобразовывать (6.1) в ряд распределения
нет необходимости, так как их можно
вычислить по таблице (6.1). Действительно,
находя сумму произведений возможных
значений случайной величины
на их вероятности, получаем
. (6.1)
Таким
образом, зная только закон распределения
аргумента
,
можно найти математическое ожидание
функции случайной величины.
Аналогично
находим дисперсию случайной величины
:
Аналогично
определяем начальные и центральные
моменты любых порядков случайной
величины
:
Для
непрерывной случайной величины
,
имеющей плотность распределения
,
получаем
;
;
Видим,
что для нахождения числовых характеристик
функции
вовсе не нужно знать ее закон распределения
– достаточно знания закона распределения
аргумента
.
Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин
В
некоторых задачах числовые характеристики
системы случайных величин
можно определить как функции числовых
характеристик системы случайных величин
.
В этом случае не требуется даже знание
закона распределения аргумента, например
совместную плотность распределения
,
а достаточно иметь только числовые
характеристики этой системы случайных
величин. Для решения таких задач
сформулированы следующие теоремы о
числовых характеристиках функций
случайных величин:
1.
, 3.
,
2.
, 4.
,
где
– неслучайная величина.
5. для любого числа слагаемых, как независимых, так и зависимых, коррелированных и некоррелированных.
6.
Математическое ожидание от линейной
комбинации случайных величин
равно той же линейной функции от
математических ожиданий рассматриваемых
случайных величин:
.
7.
Дисперсия суммы случайных величин равна
сумме всех элементов корреляционной
матрицы
этих случайных величин
.
Так
как корреляционная матрица
симметрична относительно главной
диагонали, на которой находятся дисперсии,
то последнюю формулу перепишем в виде
.
Если
случайные величины
не коррелированы
, то справедлива
теорема о сложении дисперсий:
.
8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле
.
9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению математических ожиданий плюс ковариация
Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий
10. Дисперсия
произведения независимых
случайных
величин
выражается формулой
Если
случайные величины
независимые и центрированные, получаем
.
Закон распределения функции случайного аргумента
Есть
непрерывная случайная величина
с плотностью распределения
,
связанная со случайной величиной
функциональной зависимостью
.
Требуется найти закон распределения
случайной величиной
.
Рассмотрим
случай, когда
строго монотонна, непрерывна и
дифференцируема на интервале
всех возможных значений случайной
величиной
.
Функция
распределения
случайной величиной
по
определению есть
.
Если функция
монотонно возрастает
на участке
всех возможных значений случайной
величиной
,
то событие
эквивалентно событию
,
где
есть функция,обратная
функции
.
Когда случайная величина
принимает з
начения
на участке
,
то случайная точка
перемещается по кривой
(ордината полностью определяется
абсциссой) (см. рис. 6.2). Из строгой
монотонности
следует монотонность
,
и поэтому функцию распределения случайной
величиной
можно записать следующим образом:
.
Дифференцируя
это выражение по
,
входящему в верхний предел интеграла,
получаем плотность распределения
случайной величиной
в виде
Если
функция
на
участке
возможных значений случайной величиной
монотонно убывает
, то, проведя
аналогичные выкладки, получаем
. (6.3)
Диапазон
возможных значений случайной величиной
может
быть в выражениях (6.2) и (6.3) от
до
.
Так как плотность распределения не может быть отрицательной, то формулы (6.2) и (6.3)можно объединить в одну
. (6.4)
Пример
.
Пусть функция случайной величины
является линейной, т. е.
,
где
.
Непрерывная случайная величина
имеет плотность распределения
,
и тогда, используя выражение (6.4), найдем
закон распределения
,
учитывая, что обратная функция есть
,
а модуль ее производной равен
,
. (6.5)
Если
случайная величина
имеет нормальное распределение
,
то согласно (6.5) получаем
.
Это
по-прежнему нормальный закон распределения
с математическим ожиданием
,
дисперсией
и средним квадратичным отклонением
.
В
результате линейного преобразования
нормально распределенной случайной
величины
получаем случайную величину
,
также распределенную по нормальному
закону.
Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения
Имеем
систему двух непрерывных случайных
величин
и
их сумму – случайную величину
.
Необходимо найти закон распределения
случайной величины
,
если известна совместная плотность
распределения системы
.
Функция
распределения
– это площадь области
на плоскости
,
где выполняется неравенство
(см. рис. 6.3), т. е.
.
П
родифференцировав
это выражение по
,
получаем плотность распределения
вероятности случайной величины
.
Учитывая симметрию слагаемых, можно записать аналогичное соотношение
.
Если
случайные величины
и
независимы, т. е. выполняется равенство,
то две последние формулы примут вид:
; (6.6)
. (6.7)
В том
случае, когда складываются независимые
случайные величины
и
,
то говорят окомпозиции законов
распределения
. Для обозначения
композиции законов распределения
иногда применяется символьная запись:
.
Закон распределения называется устойчивым к композиции , если при композиции законов распределения этого типа получается снова тот же закон, но с другими значениями параметров. Например, если сложить две независимые нормальные случайные величины, то результирующая случайная величина будет иметь нормальный закон распределения, т. е. нормальный закон устойчив к композиции. Кроме нормального закона, устойчивыми к композиции являются законы распределения Эрланга, биноминальный, Пуассона.