Конус вращения представляет собой частный случай, когда его ось вращения / _L Определитель конуса вращения выражается формулой Ф (/", /), где / - прямолинейная образующая (рис. 152).
Построение точки на поверхности конуса является, как известно, простейшей задачей. Для построения недостающей проекции точки нужно провести линию на поверхности через эту точку. Для поверхностей вращения эти линии являются прямолинейными (для конуса - /) или криволинейными меридианами и круговыми параллелями р. Непрерывное множество меридианов образует непрерывный каркас прямолинейных образующих поверхности конуса. Проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, удобно строить с помощью параллелей и меридианов. Если точки Nn М принадлежат образующей конуса SM, совпадающей на фронтальной плоскости проекций П 2 с проекцией оси / 2 , то на горизонтальной плоскости проекций n t следует их строить с помощью параллелир (рис. 152, а). Точно так же для повышения точности графического построения можно построить с помощью параллели р точку А, определенную на эпюре с помощью образующей АВ (рис. 152, б).
Рис. 152
Линии, которые образуются при пересечении поверхности прямого конуса с плоскостью, называются коническими сечениями.
Если плоскость, пересекающая прямой конус вращения, параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1? то в сечении конической поверхности будет окружность, т.е. кривая идет по параллели. При пересечении плоскостью, которая не параллельна ни одной из его образующих, в сечении получится эллипс (рис. 153).
Фронтально проецирующая плоскость Е на фронтальной плоскости проекций П 2 рассекает конус по проекции большой оси 1 2 -2 2
Рис. 153
эллипса. Она проецируется без искажений. Точки 1 и 2 являются опорными. Через середину большой оси эллипса проведена вспомогательная секущая плоскость (3 || flj - горизонтальная плоскость уровня, пересекающая конус по параллели р". Эта параллель проецируется на Щ в натуральную величину. Проекционная линия связи в пересечении с проекцией параллели р" отметит на П j малую ось эллипса 3J-4J. На П! она проецируется в натуральную величину. Для построения промежуточных точек 5 и 6 кривой сечения вводим дополнительную секущую горизонтальную плоскость уровня у || П,.
Точки 7 и 8 построены как симметричные точкам 5 и 6 относительно малой оси 3-4 эллипса. Натуральная величина кривой сечения эллипса построена при помощи способа замены плоскостей проекций П,/П 2 -> П 2 /П 4 .
Если секущая плоскость - фронтально проецирующая плоскость I ± П 2 - параллельна одной образующей конуса, то в сечении конуса получается парабола (рис. 154).
Опорные точки 1 - вершина парабола, точки 2 и 3 - следы параболы на плоскости у основания конуса. На рис. 154 показана вспомогательная секущая плоскость уровня (3, с помощью которой построены промежуточные точки 4 и 5 аналогично алгоритму построения эллиптического сечения. Натуральная величина параболы построена с помощью способа замены плоскостей проекций.
Рис. 154 146
Гиперболическое сечение конуса получается, если секущая плоскость Е _L П 2 параллельна двум образующим конуса. При прохождении такой плоскости через вершину конуса точку S гипербола вырождается в две прямые (образующие конуса). Секущая плоскость Е параллельна двум образующим конуса SA и SB и пересекает конус по гиперболе (рис. 155).
Рис. 155
Секущая плоскость? пересекает коническую поверхность таким образом, что в сечении получаются две ветви гиперболы, имеющие одну действительную ось i и другую мнимую, перпендикулярную к i ось у. В точке О гипербола имеет две взаимно перпендикулярные асимптоты, которые касаются ветвей гиперболы в двух бесконечно удаленных точках и принадлежат плоскости гиперболы. Асимптоты гиперболы параллельны образующим SA и SB конуса. Проводим горизонтальную плоскость уровня Р || П] и строим точки 5 и 6. Далее строим точки 7 и 8 как симметричные точкам 5 и 6 относительно мнимой оси гиперболы j. Натуральную величину ветвей гиперболы строят с помощью замены плоскостей проекций.
Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 51, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.
Рис. 51. Поверхность вращения: а – основные линии на поверхности вращения; б – представление поверхности вращения в виде сети
Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность – меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 51, б).
Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.
При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n–го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.
В зависимости от вида образующей различают:
Торовые поверхности – поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:
Рис. 52. Торовые поверхности: а – сфера; b – открытый тор (кольцо); c – закрытый тор; d – глобоид
- Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 52, а).
- Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, б) и закрытый тор , образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 52, в).
- Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, г).
Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 53. а), если малая – сжатым или сфероидом (рис. 53, б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду
Рис. 53. Поверхности вращения: а – вытянутый эллипсоид; б – сфероид
Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 54). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.
Рис. 54. Параболоид вращения
Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 55, а), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 55, б), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.
Рис. 3.15
Поверхности вращения имеют весьма широкое применение во всех областях техники. Поверхностью вращения называют поверхность, получающуюся от вращения некоторой образующей линии 1 вокруг неподвижной прямойi - оси вращения поверхности (рис.3.15). На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси. Соответственно, линия пересечения поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью. Такие окружности называют параллелями (рис. 3.15). Параллель наибольшего радиуса называют экватором, наименьшего - горлом. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной, линию ее пересечения с поверхностью вращения - меридианом. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называют главным меридианом. В практике выполнения чертежей наиболее часто встречаются следующие поверхности вращения: цилиндрическая, коническая, сферическая, торовая.
Рис. 3.16
Цилиндрическую поверхность вращения
.
В качестве направляющейа
следует
взять окружность, а в качестве прямойb
-
осьi
(рис.3.16). Тогда получим,
что образующаяl
, параллельная
осиi
, вращается вокруг последней.
Если ось вращения перпендикулярна
горизонтальной плоскости проекций, то
наП
1 цилиндрическая
поверхность проецируется в окружность,
а наП
3 - в прямоугольник.
Главным меридианом цилиндрической
поверхности являются две параллельные
прямые.
Рис 3.17
Коническую поверхность вращения
получим,
вращая прямолинейную образующуюl
вокруг
осиi
. При этом образующаяl
пересекает
осьi
в точкеS
, называемой
вершиной конуса (рис.3.17). Главным
меридианом конической поверхности
являются две пересекающиеся прямые.
Если в качестве образующей взять отрезок
прямой, а ось конуса перпендикулярнойП
1 ,
то наП
1 коническая поверхность
проецируется в круг, а наП
2 -
в треугольник.
Сферическая поверхность образуется за счет вращения окружности вокруг оси, проходящей через центр окружности и лежащей в ее плоскости (рис.3.18). Экватор и меридианы сферической поверхности являются равными между собой окружностями. Поэтому при ортогональном проецировании на любую плоскость сферическая поверхность проецируется в круги.
Рис. 3.18
При вращении окружности
вокруг оси, лежащей в плоскости этой
окружности, но не проходящей через ее
центр, образуется поверхность, называемая
торовой (рис.3.19).
Рис.
3.19
11.ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ
ТОЧКИ, ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ.ТЕОРЕМА МОНЖА.
Под позиционными
подразумеваются
задачи, решение которых позволяет
получить ответ о принадлежности элемента
(точки) или подмножества (линии) множеству
(поверхности). К позиционным относятся
также задачи на определение общих
элементов, принадлежащих различным
геометрическим фигурам. Первая группа
задач может быть объединена под общим
названием задачи на принадлежность. К
ним, в частности, относятся задачи на
определение:1) принадлежности точки
линии;2) принадлежности точки поверхности;3) принадлежности линии поверхности.Ко второй группе относятся задачи на
пересечение. Эта группа содержит также
три типа задач:1) на пересечение линии
с линией;2) на пересечение поверхности
с поверхностью;3) на пересечение линии
с поверхностью.Принадлежность точки
поверхности
. Основное положение
при решении задач для этого варианта
принадлежности следующее: точка
принадлежит поверхности, если она
принадлежит какой-либо линии этой
поверхности
. В этом случае линии надо
выбирать наиболее простыми, чтобы легче
было построить проекции такой линии,
затем использовать то обстоятельство,
что проекции точки, лежащие на поверхности,
должны принадлежать одноименным
проекциям линии этой поверхности.
Пример решение этой задачи показан на
рисунке
. Здесь есть два пути решения,
поскольку можно провести две простейших
линии, принадлежащих конической
поверхности. В первом случае - проводится
прямая линия - образующая конической
поверхности S1 так, чтобы она проходила
через какую-либо заданную проекцию
точки С. Тем самым предполагаем, что
точка С принадлежит образующей S1
конической поверхности, а следовательно
- самой конической поверхности. В этом
случае одноименные проекции точки С
должны лежать на соответствующих
проекциях этой образующей.Другая
простейшая линия - окружность с диаметром
1-2 (радиус этой окружности - отсчитывается
от оси конуса до очерковой образующей).
Этот факт известен еще из школьного
курса геометрии: при пересечении
кругового конуса плоскостью, параллельной
его основанию, или перпендикулярной к
его оси, в сечении будет получаться
окружность. Второй способ решения
позволяет найти недостающую проекцию
точки С, заданной своей фронтальной
проекцией, принадлежащей поверхности
конуса и совпадающей на чертеже с осью
вращения конуса, без построения третьей
проекции. Всегда следует иметь в виду,
видима или не видима точка, лежащая на
поверхности конуса (в случае, если она
не видна, соответствующая проекция
точки будет заключена в скобки). Очевидно,
что в нашей задаче точка С принадлежит
поверхности, поскольку проекции точки
принадлежат одноимённым проекциям
линий, использованных для решения как
при первом, так и при втором способе
решения.Принадлежность линии
поверхности.
Основное положение:линия принадлежит поверхности, если
все точки линии принадлежат заданной
поверхности
. Это означает, что в данном
случае принадлежности должна быть
несколько раз решена задача о принадлежности
точки поверхности.Торема Монжа
:если две поверхности второго порядка
описаны около третьей или вписаны в
неё, то линия их пересечения распадается
на две кривые второго порядка, плоскости
которых проходят через прямую, соединяющую
точки пересечения окружности касания.
12.СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ
ПЛОСКОСТЯМИ
.
При
пересечении поверхностей
тел
проецирующими плоскостями, одна проекция
сечения совпадает с проекцией проецирующей
плоскости. Конус может иметь в сечении
пять различных фигур.Треугольник
- если секущая плоскость пересекает
конус через вершину по двум
образующим.Окружность
- если плоскость
пересекает конус параллельно основанию
(перпендикулярно оси).Эллипс
- если
плоскость пересекает все образующие
под некоторым углом.Параболу
- если
плоскость параллельна одной из образующих
конуса.Гиперболу
- если плоскость
параллельна оси или двум образующим
конуса.Сечение поверхности плоскостью
представляет собой плоскую фигуру,
ограниченную замкнутой линией, все
точки которой принадлежат как секущей
плоскости, так и поверхности. При
пересечении плоскостью многогранника
в сечении получается многоугольник
с вершинами, расположенными на ребрах
многогранника.Пример
. Построить
проекции линии пересечения L поверхности
прямого кругового конуса ω плоскостью
β.Решение
. В сечении получается
парабола, вершина которой спроецируется
в точку А (А′, А′′). Точки A, D, E линии
пересечения являются экстремальными.
На рис. построение искомой линии
пересечения осуществлено с помощью
горизонтальных плоскостей уровня αi,
которые пересекают поверхность конуса
ω по параллелям рi , а плоскость β - по
отрезкам фронтально проецирующих
прямых. Линия пересечения L полностью
видима на плоскостях.
№13.Соосные поверхности. Метод концентрических сфер.
При построении линии пересечения
поверхностей особенности пересечения
соосных поверхностей вращения позволяют
в качестве вспомогательных
поверхностей-посредников использовать
сферы, соосные с данными поверхностями.
К соосным поверхностям вращения относятся
поверхности, имеющие общую ось вращения.
На рис. 134 изображены соосные цилиндр и
сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера
(рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус
(рис. 134, в)
Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов. Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения. Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер. При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:1) пересечение поверхностей вращения;2) оси поверхностей - пересекающиеся прямые - параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;3) нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях. Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф1) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П2 или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h", лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г2), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П1. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы. Вспомогательные горизонтально или фронтально проецирующие плоскости, проведенные через вершину одной из поверхностей, будут пересекать их по образующим и эллипсам. В данном примере выполнены условия, позволяющие применение вспомогательных сфер для построения точек линии пересечения. Оси поверхностей вращения пересекаются в точке О (О1; О2), которая является центром вспомогательных сфер, радиус сферы изменяется в пределах Rmin < R < Rmах- Радиус максимальной сферы определяется расстоянием от центра О наиболее удаленной точки В (Rmax = О2В2), а радиус минимальной сферы определяется как радиус сферы, касающейся одной поверхности (по окружности h2) и пересекающей другую (по окружности h3).Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. В пересечении этих окружностей получаем точки Е и F, принадлежащие линии пересечения поверхностей:
h22 ^ h32 = E2(F2); Е2Е1 || А2А1; Е2Е1 ^ h21 =E1; F2F ^ h1 = F1 Промежуточная сфера радиуса R пересекает поверхности по окружностям h4 и h5, в пересечении которых находятся точки Ми N:h42 ^ h52 = M2(N2); M2M1 || А2А1, М2М1 ^ h41 = М1; N2N1 ^ h41 = N1 Соединяя одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости, получаем проекции линии пересечения поверхностей.
№14. построение линии пересечения поверхностей, если хотя бы одна из них проецирующая. Характерные точки линии пересечения.
Прежде чем приступить к построению линии пересечения поверхностей, необходимо внимательно изучить условие задачи, т.е. какие поверхности пересекаются. Если одна из поверхностей является проецирующей, то решение задачи упрощается, т.к. на одной из проекций линия пересечения совпадает с проекцией поверхности. И задача сводится к нахождению второй проецирующей линии. При решении задачи следует отметить в первую очередь «характерные» точки или «особые». Это:
· Точки на крайних образующих
· Точки, делящие линию на видимую и невидимую часть
· Верхние и нижние точки и др. Далее следует разумно выбрать способ, каким будем пользоваться при построении линии пересечения поверхностей. Мы будем пользоваться двумя способами: 1. вспомогательных секущих плоскостей. 2. вспомогательных секущих сфер. К проецирующим поверхностям относятся: 1) цилиндр, если его ось перпендикулярна плоскости проекций; 2) призма, если ребра призмы перпендикулярны плоскости проекций. Проецирующая поверхность проецируется в линию на плоскость проекций. Все точки и линии, принадлежащие боковой поверхности проецирующего цилиндра или проецирующей призме проецируются в линию на ту плоскость, которой ось цилиндра или ребро призмы перпендикулярно. Линия пересечения поверхностей принадлежит обеим поверхностям одновременно и, если одна из этих поверхностей проецирующая, то для построения линии пересечения можно использовать следующее правило: если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то одна проекция линии пересечения есть на чертеже в готовом виде и совпадает с проекцией проецирующей поверхности (окружность, в которую проецируется цилиндр или многоугольник, в который проецируется призма). Вторая проекция линии пересечения строится исходя из условия принадлежности точек этой линии другой не проецирующей поверхности.
Рассмотренные особенности характерных точек позволяют легко проверить правильность построения линии пересечения поверхностей, если она построена по произвольно выбранным точкам. В данном случае десяти точек достаточно для проведения плавных проекций линии пересечения. При необходимости может быть построено любое количество промежуточных точек. Построенные точки соединяют плавной линией с учетом особенностей их положения и видимости. Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей: выбирают вид вспомогательных поверхностей; строят линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями; находят точки пересечения построенных линий и соединяют их между собой. Вспомогательные секущие плоскости выбираем таким образом, чтобы в пересечении с заданными поверхностями получались геометрически простые линии (прямые или окружности). Выбираем вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего, в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают проецирующие плоскости, в частности, плоскости уровня. При этом необходимо учитывать линии пересечения, получаемые на поверхности, в результате пресечения поверхности плоскостью. Так конус является наиболее сложной поверхностью по числу получаемых на нем линий. Только плоскости, проходящие через вершину конуса или перпендикулярные оси конуса, пересекают его соответственно по прямой линии и окружности (геометрически простейшие линии). Плоскость, проходящая параллельно одной образующей пересекает его по параболе, плоскость параллельная оси конуса пересекает его по гиперболе, а плоскость, пересекающая все образующие и наклонные к оси конуса, пересекает его по эллипсу. На сфере, при пересечении ее плоскостью, всегда получается окружность, а если пересекать ее плоскостью уровня, то эта окружность проецируется на плоскости проекции соответственно в прямую линию и окружность. Итак, в качестве вспомогательных плоскостей выбираем горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают и конус, и сферу по окружностям (простейшие линии).Некоторые особые случаи пересечения поверхностей В некоторых случаях расположение, форма или соотношения размеров криволинейных поверхностей таковы, что для изображения линии их пресечения никаких сложных построений не требуется. К ним относятся пересечение цилиндров с параллельными образующими, конусов с общей вершиной, соосных поверхностей вращения, поверхностей вращения, описанных вокруг одной сферы.
В числе кривых поверхностей - линейчатых и нелинейчатых - имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси поверхности 1).
Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. На рис. 330 показана такая поверхность. Здесь образующей служит кривая ABC, осью - прямая OO 1 , расположенная в одной плоскости с ABC. Каждая точка образующей описывает окружность. Таким образом, плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности. Такие окружно
1) В процессе образования поверхности вращения ось неподвижна.
сти называются параллелями . Наибольшую из параллелей называют экватором , наименьшую - горлом поверхности 1).
Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной плоскостью . Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности .
Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол.
Если ось поверхности вращения параллельна пл. π 2 , то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной пл. π 2 , называется главным меридианом . При таком положении главный меридиан проецируется на пл. тс 2 без искажения. Если ось поверхности вращения перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности. Наиболее целесообразным с точки зрения изображений является перпендикулярность оси поверхности вращения к пл. π 1 или к π 2 , или к π 3 .
Некоторые поверхности вращения представляют собой частные случаи поверхностей, рассмотренных в § 50. Таковы: 1) цилиндр вращения, 2) конус вращения, 3) гиперболоид вращения однополостный, 4) эллипсоид вращения, 5) параболоид вращения, 6) гиперболоид вращения двуполостный.
Для цилиндра и конуса вращения меридианы являются прямыми линиями - в первом случае параллельными оси и равноудаленными от нее, во втором случае пересекающими ось в одной и той же ее точке под одним и тем же углом к оси. Так как цилиндр и конус вращения - поверхности, бесконечно простирающиеся в направлении их образующих, то на изображениях обычно их ограничивают какими-либо линиями, например следами этих поверхностей на плоскостях проекций или какой-либо из параллелей. Известные из стереометрии прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус ограничены поверхностью вращения и плоскостями, перпендикулярными к ее оси. Меридианы такого цилиндра - прямоугольники, а конуса - треугольники.
Для гиперболоида вращения меридианом является гипербола, причем, если осью вращения служит действительная ось гиперболы, то образуется двуполостный гиперболоид вращения; если же вращать гиперболу вокруг ее мнимой оси, то однополостный .
Однополостный гиперболоид вращения может быть образован также вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые.
На рис. 331 показан однополостный гиперболоид вращения, образованный вращением прямой АВ вокруг указанной оси и ограниченный двумя параллелями; окружность, проведенная из центра 0 1 есть горло поверхности.
На однополостном гиперболоиде вращения можно нанести прямолинейные образующие в двух направлениях, например так, как показано на рис. 331, и с наклоном в обратную сторону, под тем же углом к оси.
Кроме прямых (пар) на этой поверхности могут быть еще гиперболы, параболы, эллипсы и окружности.
1) Точнее, экватором называют ту из параллелей, которая больше соседних с нею параллелей по обе стороны от нее, рассматриваемых до первого горла; горло - наименьшая из соседних параллелей до первого экватора. Отсюда поверхность вращения может иметь несколько экваторов и горл.
На рис. 331 справа показано построение фронтальной проекции однополостного гиперболоида вращения по его оси и образующей. Прежде всего найден радиус горла поверхности. Для этого проведен перпендикуляр О" 1 1" к горизонтальной проекции образующей. Этим определена горизонтальная проекция общего перпендикуляра к оси и образующей. Натуральная величина отрезка, выраженного проекциями O" 1 1" и О" 1 1", равна радиусу горла поверхности. Далее, путем поворота точки c проекциями 2",2";3",3";A",A" выведены в плоскость α,параллельную пл. π 2 , что
дает возможность провести очерковую линию фронтальной проекции гиперболоида. Горизонтальная его проекция представит собой три концентрические окружности.
Для параболоида вращения меридианом является парабола , ось которой служит осью поверхности.
Для эллипсоида вращения меридианом является эллипс . Поверхность может быть образована вращением эллипса вокруг его большой оси («вытянутый» эллипсоид вращения - рис. 332, слева) или вокруг его малой оси («сжатый» эллипсоид вращения - рис, 332, справа). Эллипсоид вращения - поверхность ограниченная; она может быть изображена полностью. Также полностью может быть изображена и сфера. Для сферы экватор и меридианы - равные между собой окружности.
Обратим еще раз внимание на то, что такие поверхности вращения, как цилиндр, конус и однополостный гиперболоид, являются линейчатыми, т. е. их можно
образовать вращением прямой линии 1). Но эллипсоид, параболоид и двуполостный гиперболоид образуются при вращении не прямой, а эллипса, параболы и гиперболы, причем ось вращения выбирается так, чтобы образующая кривая располагалась симметрично по отношению к этой оси. То же можно сказать и относительно однополостного гиперболоида вращения, если он образуется в результате вращения гиперболы вокруг ее мнимой оси.
Так как ось вращения выбирается совпадающей с осью симметрии эллипса, параболы, гиперболы, то эллипс и Гипербола образуют по две поверхности, так как у них по две оси симметрии, а парабола - одну поверхность, так как у нее одна ось симметрии, Следовательно, каждая из образуемых поверхностей получается только при вращении одним способом. Между тем сфера, которую можно рассматривать как эллипсоид при равных большой и малой осях образующего эллипса, переходящего при этом в окружность, может быть образована вращением более чем одним
способом: образующая окружность симметрична относительно каждого из ее диаметров.
При вращении окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, получается поверхность с названием тор 2). Так называют и тело, ограниченное тором - поверхностью.
Различают (рис. 333):
1) открытый тор, иначе круговое кольцо,
2) замкнутый,
3) самопересекающийся.
На рис. 333 они изображены в простейшем положении: ось тора перпендикулярна к плоскости проекций, в данном случае к пл. π 1 .
Образующей для открытого и замкнутого торов служит окружность, для самопересекающегося - дуга окружности. В открытый и замкнутый торы могут быть вписаны сферы. Тор можно рассматривать как поверхность, огибающую одинаковые сферы, центры которых находятся на окружности.
Тор имеет две системы круговых сечений: в плоскостях, перпендикулярных к его оси, и в плоскостях, проходящих через ось тора 3).
1) Закономерность в расположении прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения применена в конструкции, известной под названием «башня Шухова». В. Г. Шухов (1853 - 1939) - один из выдающихся русских инженеров. «Башня Шухова» применяется в устройстве радиомачт, водонапорных башен и др.
2) Фр. tore (от torus (лат.) - выпуклость, узел) - кольцеобразный выступ на колонне.
3) Существует третья система круговых сечений открытого тора, которая в книге не рассматривается.
Поверхность, называемая тором, весьма часто встречается в машиностроении и архитектуре. На рис. 334 слева изображена деталь, поверхность вращения которой содержит самопересекающийся тор и открытый тор, а справа на том же рисунке показана схематически
поверхность перехода от одного цилиндрического свода к другому, имеющая форму замкнутого тора с осью ОО 1
Из поверхностей вращения упомянем еще катеноид 1). Эта поверхность образуется при полном обороте цепной линии 2) вокруг лежащей с ней в одной плоскости горизонтальной оси.
Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения.
Но это не исключает возможности применять прямолинейные образующие в случае линейчатых поверхностей вращения, подобно тому, как это показано на рис. 314 для цилиндров и конусов общего вида.
На рис. 330 показано применение параллели для построения проекции точки, принадлежащей данной поверхности вращения. Если дана проекция М", то проводим фронтальную проекцию F"F" 1 параллели, а затем радиусом R = O" 1 F" проводим окружность - горизонтальную проекцию параллели - и на ней находим проекцию М". Если бы была задана проекция М", то следовало бы провести радиусом R = O" 1 F" окружность, по точке F" найти F" и провести F"F" 1 - фронтальную проекцию параллели, на которой должна быть проекция М". На рис, 332 показано построение проекций точки К, принадлежащей эллипсоиду вращения, а на рис. 335 - точки М, принадлежащей поверхности кругового кольца.
На рис. 335 справа показано нахождение проекций точек на сфере. По данной проекции А" точки А построена фронтальная проекция А"; по данной проекции В" найдена горизонтальная проекция В" точки В, удовлетворяющей дополнительному условию, что точка В невидима, если смотреть на пл. π 2 .
Точка С задана на экваторе: ее проекция С" находится на очерке горизонтальной проекции сферы, т. е. на горизонтальной проекции экватора. Точки К и М лежат на главном меридиане; они принадлежат параллелям, на которых находятся точки А и В. Точка D также находится на главном меридиане, причем она невидима, если смотреть на пл. π 1 .
Рассмотрим пример построения проекций точек, принадлежащих поверхности вращения. Пусть требуется привести точку А, вращая ее вокруг данной оси MN, на заданную поверхность вращения (рис. 336, а). Так как в данном случае ось поверхности вращения и ось вращения точки А перпендикулярны к плоскости проекций π 1 , то окружность вращения точки А проецируется на π 1 без искажения, равно как и та параллель поверхности вращения, которая получается при пересечении этой поверхности плоскостью вращения точки А. В этой плоскости расположен и центр вращения точки А - точка О (точка пересечения оси вращения MN с плоскостью вращения α). Остальное ясно из чертежа. В положении А 2 на поверхности точка окажется невидимой на пл. π 2 .
2) Catena (лат.) - цепь.
2) Цепная линия - кривая, форму которой принимает цепь, подвешенная в ее двух точках, или вообще тяжелая нерастяжимая нить, подвешенная за ее концы.
Положим, что будет поставлен вопрос о выборе оси вращения для того, чтобы далее точка А могла оказаться на заданной поверхности вращения, На с. 100 был рассмотрен аналогичный вопрос, но там требовалось выбрать ось, чтобы поворотом вокруг нее можно было ввести точку в плоскость, Тогда было установлено, что имеется зона, в которой нельзя брать оси, так как при повороте вокруг таких осей точка не соприкоснется с плоскостью. Эта зона определялась параболическим цилиндром, причем парабола возникла при рассмотрении взаимного положения вращаемой точки и прямой, на которой эта точка должна была бы оказаться, соприкоснувшись с плоскостью.
Теперь, очевидно, вопрос будет, решаться при рассмотрении взаимного положения точки А и окружности (параллели) на поверхности тела вращения,
Из рис. 336, а следует, что проекция О" центра вращения должна быть расположена так, чтобы R A не был меньше расстояния точки О" до ближайшей точки на проекции окружности радиуса r, Если же взять точку О" на равных расстояниях от А" и от проекции этой окружно
сти (например, в О" 1 или O" 2 ; см. рис, 336,6), то в ней уже можно установить ось вращения; окружность вращения точки А коснется окружности радиуса r, т, е, точка А соприкоснется с поверхностью вращения.
Где на чертеже лежат все точки, одинаково удаленные от точки А" и от окружности радиуса r? Они расположены на гиперболе (рис, 336,6), для которой точка А" служит одним из фокусов, точка О" 1 , в которой отрезок А"1" делится пополам, - одной из вершин. Если разделить отрезок А"З" пополам, то мы получим вторую вершину гиперболы (точка О" 3); второй фокус расположится в точке С", т. е. в центре окружности, полученной при пересечении поверхности тела вращения плоскостью α (рис. 336, а).
Из рассмотренного вытекает, что точки, расположенные на обеих ветвях гиперболы или между ними, могут быть выбраны каждая в качестве горизонтальной проекции оси вращения.
Может быть случай, когда точка находится внутри поверхности вращения. Следовательно, проводя через точку плоскость вращения, мы получим проекцию А" внутри проекции окружности радиуса r, по которой плоскость вращения точки А пересекает поверхность вращения (рис, 336, в). И на этот раз очевидно, что R A не должен быть меньше расстояния точки О" (т, е, проекции оси) до ближайшей точки проекции окружности радиуса r. Предельные положения проекций осей расположатся теперь как точки эллипса с фокусами в точках А" и С", с большой осью на прямой 1"З", с вершинами в точках O" 3 и O" 3 . Внутри этого эллипса не следует брать проекции осей; такие оси не дадут возможности ввести точку А в поверхность вращения,
Итак, вопрос, как выбрать ось вращения, чтобы, вращая вокруг нее точку, ввести эту точку в плоскость или в поверхность вращения, ось которой параллельна оси вращения, привел нас к эллипсу (рис. 336, в), -параболе (рис, 244), гиперболе (рис. 336,6) как геометрическим местам центров вращения.
При решении различных задач применяются те или иные поверхности в качестве геометрических мест точек или линий, отвечающих определенным условиям. Например, заданы пл. α и точка К вне этой плоскости; определить, как расположатся в пл. α точки, отстоящие от точки К на заданное расстояние r (расстояние r больше, чем расстояние точки К до пл. α). В данном случае решение связано с применением сферы как геометрического места точек, отстоящих от точки К на расстояние r, Плоскость α пересечет эту сферу по окружности, которая,и даст решение задачи.
Если бы требовалось построить в пл. α точки, отстоящие на расстояние r не от точки, а от некоторой прямой АВ, не лежащей в пл. α, то геометрическим местом таких точек в пространстве оказалась бы поверхность цилиндра вращения с осью АВ и радиусом r, а искомые в пл. α точки получились бы на линии пересечения этого цилиндра пл. α.
В дальнейшем на рис. 368 справа и 401 можно видеть примеры применения конических поверхностей вращения как геометрических мест прямых, проходящих через заданную точку.
Если в задаче поставлен вопрос о точках, равноотстоящих от заданных плоскости α и точки М, то в качестве геометрического места таких точек в пространстве следовало бы использовать параболоид вращения с фокусом параболы в точке М.
Применение тех или иных поверхностей в качестве геометрических мест, конечно, не исчерпывается приведенными примерами.
Вопросы к § 51
- Что называется поверхностью вращения?
- Чем можно задать поверхность вращения?
- Что называется параллелями и меридианами на поверхностях вращения, экватором, горлом, главным меридианом?
- Какая из осей гиперболы служит осью вращения для образования: а) однополостного, б) двуполостного гиперболоида вращения?
- Можно ли образовать однополостный гиперболоид вращения при помощи прямой линии?
- Какие поверхности вращения (кроме однополостного гиперболоида) являются линейчатыми?
- Как образуется поверхность, называемая тором?
- В каком случае для тора применяется название «круговое кольцо»?
- Сколько систем круговых сечений имеет тор?
- Как определяется положение точки на поверхности вращения?
1) Предлагаем читателю составить чертеж и выполнить решение этой и последующих задач.
Возможно, самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения - отрезок, прямая или плоская кривая - лежат на плоскости . Позднее мы рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.
Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси, - это точка. При условии, что точка не лежит на оси, вращение на угол породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.
Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 6-1.
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол мы получим усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса - длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса - это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 6-2.
И снова, если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол мы получим плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 6-3.
И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т.е. некомпланарен, то вращение на угол породит однополостный гиперболоид (см. разд. 6-4 и 6-7).
Рис. 6-1 Цилиндрическая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-2 Коническая поверхность вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-3 Диск в качестве поверхности вращения. (а) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-4 Поверхность вращения из замкнутой ломаной. (a) Схема построения; (b) результат.
Рис. 6-5 Бипараметрическая поверхность вращения.
Для создания поверхностей вращения могут быть также использованы замкнутые и незамкнутые ломаные. На рис. 6-4 представлен конус с цилиндрическим отверстием.
Параметрическое уравнение точки на поверхности вращения можно получить, если вспомнить, что параметрическое уравнение вращаемого объекта, например
есть функция одного параметра . Вращение вокруг оси приводит к тому, что координаты зависят также от угла поворота. Таким образом, точка на поверхности вращения определяется двумя параметрами и . Как показано на рис. 6-5, это бипараметрическая функция.
Для рассматриваемого частного случая, т. е. вращения вокруг оси объекта, расположенного в плоскости , уравнение поверхности записывается
Заметим, что здесь координата не меняется. В качестве иллюстрации приведем пример.
|
Пример 6-1 Простая поверхность вращения Рассмотрим отрезок с концами и , лежащий в плоскости . Вращение отрезка вокруг оси породит коническую поверхность. Определим на поверхности координаты точки с параметрами , . Параметрическое уравнение отрезка, соединяющего и , имеет вид с декартовыми координатами
Используя уравнение (6-1), получим точку на поверхности вращения
|
.
.Вращение плоских кривых также порождает поверхности вращения. Как показано на рис. 6-6а, сфера получается в результате вращения вокруг оси расположенной в плоскости полуокружности, центрированной относительно начала координат. Вспомнив параметрическое уравнение окружности (см. разд. 4-5)
получим параметрическое уравнение сферы
Рис. 6-6 Поверхности вращения. (а) Сфера; (b) эллипсоид.
Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрированного полуэллипса, расположенного в плоскости , получится эллипсоид вращения. Напомнив параметрическое уравнение полуэллипса (см. разд. 4-6)
получим для любой точки эллипсоида следующее параметрическое уравнение:
При уравнение (6-3) превращается в уравнение (6-2) для сферы. Эллипсоид вращения показан на рис. 6-66.
Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности или эллипса, соответственно. Параметрическое уравнение эллипса на плоскости с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так
где - это , - координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:
где , . Если , то уравнение (6-4) задает тор с сечением в виде окружности. Если , то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 6-7 представлены оба типа торов.
Рис. 6-7 Торы. (а) С сечением в виде окружности; (b) с сечением в виде эллипса.
Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы (см. разд. 4-7)
Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы
вокруг оси . Параметрическая поверхность задается уравнением
Примеры показаны на рис. 6-8.
Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн. На рис. 6-9 изображена поверхность вращения, созданная из относительно простого параболического сплайна. На рис. 6-10 изображен бокал, созданный как поверхность вращения с помощью незамкнутого В-сплайна.
Рис. 6-8 Поверхности вращения. (а) Параболоид; (b) гиперболоид.
Рис. 6-9 Поверхность вращения из параболически интерполированной кривой. (а) Создание кривой; (b) поверхность.
Заметим, что бокал имеет как внутреннюю, так и внешнюю стороны. Вращение производится относительно оси .
Рис. 6-10 В-сплайн поверхность вращения. (а) Вершины ломаной; (b) В-сплайн; (с) поверхность.
Напомним, что в матричной форме параметрическая пространственная кривая (см. уравнения (5-27), (5-44), (5-67) и (5-94)) задается следующим образом:
,
где , и - соответственно матрица параметров, матрица функций смешивания и геометрическая матрица. Таким образом, в общей форме матричное уравнение поверхности вращения записывается в виде:
, (6-7)
где представляет вклад вращения вокруг оси на угол . Для частного случая вращения вокруг оси имеем:
. (6-8)
Эти методы иллюстрируются в следующем примере.
|
Пример 6-2 Поверхность вращения, созданная по параболической кривой Рассмотрим параболическую кривую, заданную точками , , , . Будем вращать эту кривую вокруг оси на угол , чтобы получить поверхность вращения. Найдем на поверхности точку с параметрами , . Из уравнений (6-7) и (6-8) получим параметрическое уравнение поверхности вращения
где , , и задаются уравнениями (5-44), (5-52) и (5-53) соответственно. Конкретнее,
Рис. 6-11 Поверхность вращения вокруг произвольной оси. Результаты изображены на рис. 6-9. Такая поверхность может быть результатом разработки кубка или даже газового канала двигателя или ракетного сопла. |
,
.
Предыдущие результаты были получены путем вращения точки, отрезка, ломаной или кривой вокруг координатной оси, а именно вокруг оси . К более общему случаю поворота вокруг произвольной оси в пространстве поверхность вращения, полученную в более удобной локальной системе координат, можно свести с помощью переносов и поворотов, приводящих поверхность в нужное положение.
На рис. 6-11 показана параметрическая кривая , повернутая вокруг произвольной оси в пространстве, проходящей через точки и и направленной от к . После того как поверхность создана в удобной системе координат для приведения поверхности вращения в нужное положение, нужно совершить следующие действия:
1. Перенести точку в начало координат.
2. Выполнить повороты, необходимые для совмещения осей и (см. разд. 5-9).
3. Повернуть вокруг оси на угол для совмещения осей и .
Эти три шага необходимы только для того, чтобы найти обратное преобразование, размещающее поверхность вращения в нужном месте в трехмерном пространстве. Получив поверхность вращения вокруг оси , приведем ее в нужное положение в пространстве:
1. Сдвинуть по оси , чтобы переместить центр поверхности вращения в нужное положение на оси .
2. Применить к поверхности вращения преобразование, обратное к суммарному преобразованию поворотов.
3. Применить к поверхности вращения обратный перенос точки .
Точка на поверхности вращения тогда задается уравнением:
где , , задаются уравнениями (3-22)-(3-24). задается уравнением (3-8), и матрица задается в форме уравнения (6-7) с геометрической матрицей , представленной в однородных координатах. теперь является матрицей , заданной в виде
. (6-10)
Данный метод иллюстрируется на следующем примере.
|
Пример 6-3 Поверхность вращения вокруг произвольной оси Найдем координаты точки с параметрами , на поверхности вращения, образованной вращением эллипса с главной осью, наклоненной относительно оси вращения. Ось вращения проходит через центр эллипса и лежит в плоскости эллипса. Угол наклона . Полуоси эллипса , . Ось проходит через точки и . Центр эллипса находится в точке . |
Формальное дифференцирование уравнения (6-7) дает параметрические производные для поверхности вращения. А именно, производная в осевом направлении равна
а производная в радиальном направлении
, (6-12)
где штрих обозначает соответствующее дифференцирование.
Нормаль к поверхности задается векторным произведением параметрических производных, т.е.