Оси координат в пространстве. Трехмерная и n-мерная система координат

Построение Декартовой прямоугольной системы координат

на плоскости

Декартова прямоугольная система координатна плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат OX 1 и OX 2 , которые пересекаются в точке O , называемой началом координат (рис.1). На каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси OX 2 вверх, ось OX 1 смотрела направо. OX 1 -- ось абсцисс, OX 2 -- ось ординат. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат OX 1 и OX 2 , называются координатными углами или квадрантами .

Точка B A на координатную ось OX 1 ;

Точка C - ортогональная проекция точки A на координатную ось OX 2 ;

Построение Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX -- ось абсцисс, OY -- ось ординат,OZ -- ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный - за направление Y а средний - за направление Z , то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (рис.2). Точка F - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OXY; Точка E - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OYZ; Точка G - ортогональная проекция точки A на координатную плоскость OX Z ;

Макетное представление Декартовой прямоугольной системы координат в пространстве показано на рисунках 3, 4 и 5.

Определение координат точки в Декартовой прямоугольной системе координат

Главным вопросом любой системы координат является вопрос определения координат точки, находящейся в ее плоскости или пространстве.

Определение координат точки на плоскости Декартовой системы координат

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами - x и y (рис.5). Координата x равна длине отрезка OB , координата y -- длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям OY и OX соответственно. Координата x называется абсциссой (лат. abscissa - отрезок), координата y -- ординатой (лат. ordinates - расположенный в порядке) точки A . Записывают так:

Если точка A лежит в координатном углу I, то она имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то - отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то она имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то - положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Так определяются координаты в Декартовой системе координат на плоскости.

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Еще из школьного курса алгебры и геометрии мы знаем о понятии трехмерного пространства. Если разобраться, сам термин «трехмерное пространство» определяется как система координат с тремя измерениями (это знают все). По сути, описать любой объемный объект можно при помощи длины, ширины и высоты в классическом понимании. Однако давайте, как говорится, копнем несколько глубже.

Что такое трехмерное пространство

Как уже стало ясно, понимание трехмерного пространства и объектов, способных существовать внутри него, определяется тремя основными понятиями. Правда, в случае с точкой это именно три значения, а в случае с прямыми, кривыми, ломаными линиями или объемными объектами соответствующих координат может быть больше.

В данном случае все зависит именно от типа объекта и применяемой системы координат. Сегодня наиболее распространенной (классической) считается Декартова система, которую иногда еще называют прямоугольной. Она и некоторые другие разновидности будут рассмотрены несколько позже.

Кроме всего прочего, здесь нужно разграничивать абстрактные понятия (если можно так сказать, бесформенные) вроде точек, прямых или плоскостей и фигуры, обладающие конечными размерами или даже объемом. Для каждого из таких определений существуют и свои уравнения, описывающие их возможное положение в трехмерном пространстве. Но сейчас не об этом.

Понятие точки в трехмерном пространстве

Для начала определимся, что представляет собой точка в трехмерном пространстве. В общем-то, ее можно назвать некой основной единицей, определяющей любую плоскую или объемную фигуру, прямую, отрезок, вектор, плоскость и т. д.

Сама же точка характеризуется тремя основными координатами. Для них в прямоугольной системе применяются специальные направляющие, называемые осями X, Y и Z, причем первые две оси служат для выражения горизонтального положения объекта, а третья относится к вертикальному заданию координат. Естественно, для удобства выражения положения объекта относительно нулевых координат в системе приняты положительные и отрицательные значения. Однако же сегодня можно найти и другие системы.

Разновидности систем координат

Как уже говорилось, прямоугольная система координат, созданная Декартом, сегодня является основной. Тем не менее в некоторых методиках задания местоположения объекта в трехмерном пространстве применяются и некоторые другие разновидности.

Наиболее известными считаются цилиндрическая и сферическая системы. Отличие от классической состоит в том, что при задании тех же трех величин, определяющих местоположение точки в трехмерном пространстве, одно из значений является угловым. Иными словами, в таких системах используется окружность, соответствующая углу в 360 градусов. Отсюда и специфичное задание координат, включающее такие элементы, как радиус, угол и образующая. Координаты в трехмерном пространстве (системе) такого типа подчиняются несколько другим закономерностям. Их задание в данном случае контролируется правилом правой руки: если совместить большой и указательный палец с осями X и Y, соответственно, остальные пальцы в изогнутом положении укажут на направление оси Z.

Понятие прямой в трехмерном пространстве

Теперь несколько слов о том, что представляет собой прямая в трехмерном пространстве. Исходя из основного понятия прямой, это некая бесконечная линия, проведенная через точку или две, не считая множества точек, расположенных в последовательности, не изменяющей прямое прохождение линии через них.

Если посмотреть на прямую, проведенную через две точки в трехмерном пространстве, придется учитывать по три координаты обеих точек. То же самое относится к отрезкам и векторам. Последние определяют базис трехмерного пространства и его размерность.

Определение векторов и базиса трехмерного пространства

Заметьте, это могут быть только три вектора, но вот троек векторов можно определить сколько угодно. Размерность пространства определяется количеством линейно-независимых векторов (в нашем случае - три). И пространство, в котором имеется конечное число таких векторов, называется конечномерным.

Зависимые и независимые векторы

Что касается определения зависимых и независимых векторов, линейно-независимыми принято считать векторы, являющиеся проекциями (например, векторы оси X, спроецированные на ось Y).

Как уже понятно, любой четвертый вектор является зависимым (теория линейных пространств). А вот три независимых вектора в трехмерном пространстве в обязательном порядке не должны лежать в одной плоскости. Кроме того, если определять независимые векторы в трехмерном пространстве, они не могут являться, так сказать, один продолжением другого. Как уже понятно, в рассматриваемом нами случае с тремя измерениями, согласно общей теории, можно построить исключительно только тройки линейно-независимых векторов в определенной системе координат (без разницы, какого типа).

Плоскость в трехмерном пространстве

Если рассматривать понятие плоскости, не вдаваясь в математические определения, для более простого понимания этого термина, такой объект можно рассматривать исключительно как двумерный. Иными словами, это бесконечная совокупность точек, у которых одна из координат является постоянной (константой).

К примеру, плоскостью можно назвать любое количество точек с разными координатами по осям X и Y, но одинаковыми координатами по оси Z. В любом случае одна из трехмерных координат остается неизменной. Однако это, так сказать, общий случай. В некоторых ситуациях трехмерное пространство может пересекаться плоскостью по всем осям.

Существует ли более трех измерений

Вопрос о том, сколько может существовать измерений, достаточно интересен. Как считается, мы живем не в трехмерном с классической точки зрения пространстве, а в четырехмерном. Кроме известных всем длины, ширины и высоты, такое пространство включает в себя еще и время существования объекта, причем время и пространство между собой взаимосвязаны достаточно сильно. Это доказал еще Эйнштейн в своей теории относительности, хотя это больше относится к физике, нежели к алгебре и геометрии.

Интересен и тот факт, что сегодня ученые уже доказали существование как минимум двенадцати измерений. Конечно, понять, что они собой представляют, сможет далеко не каждый, поскольку это относится скорее к некой абстрактной области, которая находится вне человеческого восприятия мира. Тем не менее факт остается фактом. И не зря же многие антропологи и историки утверждают, что наши пращуры могли иметь некие специфичные развитые органы чувств вроде третьего глаза, которые помогали воспринимать многомерную действительность, а не исключительно трехмерное пространство.

Кстати сказать, сегодня существует достаточно много мнений по поводу того, что экстрасенсорика тоже является одним из проявлений восприятия многомерного мира, и тому можно найти достаточно много подтверждений.

Заметьте, что современными базовыми уравнениями и теоремами описать многомерные пространства, отличающиеся от нашего четырехмерного мира, тоже не всегда представляется возможным. Да и наука в этой области относится скорее к области теорий и предположений, нежели к тому, что можно явно ощутить или, так сказать, потрогать или увидеть воочию. Тем не менее косвенные доказательства существования многомерных миров, в которых может существовать четыре и более измерений, сегодня ни у кого не вызывают сомнений.

Заключение

В целом же, мы очень кратко рассмотрели основные понятия, относящиеся к трехмерному пространству и базовым определениям. Естественно, существует множество частных случаев, связанных с разными системами координат. К тому же мы постарались особо не лезть в математические дебри для объяснения основных терминов только для того, чтобы вопрос, связанный с ними, был понятен любому школьнику (так сказать, объяснение «на пальцах»).

Тем не менее, думается, даже из таких простых трактовок можно сделать вывод о математическом аспекте всех составляющих, входящих в базовый школьный курс алгебры и геометрии.

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат , на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y - длине отрезка OC, координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y - ординатой точки A, координата z - аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов , сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или e x e y e z . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов :

• [i j ]=k ;
• [j k ]=i ;
• [k i ]=j .

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году . Поэтому прямоугольную систему координат называют также - Декартова система координат . Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма , однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Декартова система координат" в других словарях:

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта (см. ДЕКАРТ Рене). Декарт впервые ввел… … Энциклопедический словарь

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямоугольная система координат на плоскости или в пространстве, в которой масштабы по осям одинаковы и оси координат взаимно перпендикулярны. Д. с. к. обозначается буквами x:, у для точки на плоскости или x, у, z для точки в пространстве. (См.… …

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ, система, введенная Рене ДЕКАРТОМ, в которой положение точки определяется расстоянием от нее до взаимно пересекающихся линий (осей). В простейшем варианте системы оси (которые обозначаются как х и у) перпендикулярны.… … Научно-технический энциклопедический словарь

декартова система координат

Прямолинейная система координат (См. Координаты) на плоскости или в пространстве (обычно с одинаковыми масштабами по осям). Сам Р. Декарт в «Геометрии» (1637) употреблял только систему координат на плоскости (вообще, косоугольную). Часто… … Большая советская энциклопедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

декартова система - Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Cartesian system; Cartesian system of co ordinates vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. декартова система, f; декартова система… … Fizikos terminų žodynas

СИСТЕМА КООРДИНАТ - совокупность условий, определяющих положение точки на прямой, на плоскости, в пространстве. Существуют различные С. к.: декартова, косоугольная, цилиндрическая, сферическая, криволинейная и др. Линейные и угловые величины, определяющие положение… … Большая политехническая энциклопедия

Ортонормированная прямолинейная система координат в евклидовом пространстве. Д. п. с. к. на плоскости задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми осями координат, на каждой из к рых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной … Математическая энциклопедия

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Книги

• Вычислительная гидродинамика. Теоретические основы. Учебное пособие , Павловский Валерий Алексеевич, Никущенко Дмитрий Владимирович. Книга посвящена систематическому изложению теоретических основ для постановки задач математического моделирования течений жидкостей и газов. Особое внимание уделено вопросам построения…

Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.

В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Введем прямоугольную систему координат на плоскости.

Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление , указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета . Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.

Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О , направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью .

Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy , где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс , а ось Oy – осью ординат .

Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.

Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).

Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.

Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz , которую называют осью аппликат .

В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой .

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой .

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.

Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.

С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O ). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.

Число называется координатой точки M на координатной прямой.

Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М .

Пусть - проекция точки M на прямую Ox , а - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью ). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy , то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .

Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy - число .

Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М , а - ординатой точки М .

Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.

Пусть и - проекции точки M на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox , Oy и Oz соответствуют действительные числа и .