Уравнение ромба на плоскости. Геометрические фигуры

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

AC\perp BD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \triangle BOC = \triangle DOC по трем сторонам (BO = OD , OC — совместная, BC = CD ). Получаем, что \angle BOC = \angle COD , и они смежны.

\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} и \angle COD = 90^{\circ} .

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 ;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 .

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD .

Это значит, что BD , AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO ; BO = OD . Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD .

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь

Ромб – одна из простейших геометрических фигур. Мы настолько часто встречаемся с ромбом в геометрических задачках, что слова «фантастика» и «ромб» кажутся для нас несовместимыми понятиями. А между тем, удивительное, как говорится, рядом… в Британии. Но для начала, давайте вспомним, что же такое «ромб», его признаки и свойства.

Термин «ромб» в переводе с древнегреческого означает «бубен». И это не случайно. А дело вот в чем. Бубен хоть раз в жизни, но видели все. И все знают, что он круглый. Но давным-давно бубны делали как раз в форме квадрата или ромба. Более того, название масти бубны также связанно именно с этим фактом.

Из геометрии мы представляем, как выглядит ромб. Это четырехугольник, который изображается в виде как бы наклоненного квадрата. Но путать ромб и квадрат ни в коем случае нельзя. Правильнее сказать, что ромб – это частный случай параллелограмма. Отличие лишь в том, что все стороны ромба равны. Чтобы быстро и верно решать задачи по геометрии, необходимо помнить о свойствах ромба. К слову, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Итак:

Свойства ромба:

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали ромба пересекаются под прямым и в точке пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб;
если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.

И еще один важный момент, без знания которого не возможно успешно решить задачку, – формулы. Ниже представлены формулы для нахождения площади любого ромба, которые употребляются в зависимости от известных данных: высота, диагональ, сторона, радиус вписанной окружности. В следующих формулах приняты условные обозначения: a – сторона ромба, h a – высота, проведенная к стороне а, а – угол между сторонами, d 1 d 2 – диагонали ромба.

Основные формулы:

S = a 2 sin а

S = 1/2 (d 1 d 2)

S = 4r 2 / sin a

Есть еще одна формула, которая употребляется не так часто, но полезна:

d 1 2 + d 2 2 = 4a 2 или сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

А теперь самое время вернуться к самому началу. Что же такого удивительного может быть в этой фигурке? Оказывается, в XIX веке при археологических раскопках был найден ромб. Да не простой, а золотой, при чем, в самом прямом смысле этого слова! Эта находка из великобританского кургана Баш была найдена в районе Уилсфорда, неподалёку от знаменитого Стоунхенджа. Загадочный ромб представляет собой отполированную пластинку, на которой выгравированы необычные узоры. Размер его 15,2 х 17,8 см (ромб лишь с небольшой оговоркой). У пластины кроме окантовки есть еще три меньших ромбовидных узора, которые якобы вложены друг в друга. При этом, в центре последнего выгравирована ромбическая сетка. По краям ромба изображен шевронный рисунок – по девять символов на каждой стороне ромба. Всего таких треугольников тридцать шесть.

Безусловно, данное изделие очень дорого стоит, но также очевидно, что создание такого ромба преследовало какую-то определенную цель. Вот только какую, ученые долго не могли разгадать.

Одна из более правдоподобных и принятых версий касается непосредственно Стоунхенджа. Известно, что сооружения Стоунхенджа возводились постепенно, в течение нескольких столетий. Считается, что строительство началось около 3000 года до н.э. Следует учесть, что золото в Британии стало известно уже где-то с 2800 года до н.э. Отсюда можно сделать предположение, что золотой ромб вполне мог быть инструментом жреца. В частности, визира. Такую гипотезу предложил вниманию современных ученых профессор А. Том, известный исследователь Стоунхенджа, в последней четверти ХХ века.

Не все могут себе представить, что древние строители могли с точностью определить углы на местности. Тем не менее, английский исследователь Д. Фарлонг предложил метод, которым, по его мнению, могли пользоваться древние египтяне. Фарлонг считал, что наши предки использовали заранее подобранные соотношения сторон в прямоугольных треугольниках. Ведь давно известно, что египтяне широко применяли треугольник со сторонами в три, четыре и пять мерных единиц. Видимо, множество подобных приёмов знали и древние жители Британских островов.

Что ж, даже если представить, что люди, которые строили Стоунхендж, были отличнейшими геодезистами, как в этом мог помочь им золотой ромб? Едва ли какой-нибудь современный геодезист сможет ответить на этот вопрос. Вероятнее всего, тот факт, что Фарлонг был геодезистом по профессии, дал возможность ему разгадать эту загадку. После внимательного изучения исследователь пришел к выводу, что отполированный золотой ромб с разметкой отлично подходит для применения его в качестве отражателя солнечных лучей, иначе говоря, особого мерного зеркала.

Было доказано, что для быстрого определения азимута на местности с достаточно небольшими погрешностями необходимо было использовать два подобные зеркала. Схема же была такова: один жрец, например, становился на вершине одного холма, а другой в прилегающей долине. Нужно было также предварительно установить расстояние между жрецами. Это можно сделать просто шагами. Хотя обычно пользовались мерной тростью, так как результаты были более достоверны. Два ромбовидных металлических зеркалаобеспечиваютпрямой угол. А потом уже легко отмерить практически любые требуемые углы. Д. Фарлонг привел даже таблицу таких пар целых чисел, которая позволяет задать любой угол с погрешностью в один градус. Вероятнее всего, что именно таким способом пользовались жрецы эпохи Стоунхенджа. Конечно, для подтверждения этой гипотезы нужно было бы найти второй, парный золотой ромб, но, по всей видимости, это того не стоит. Ведь доказательства и так вполне очевидны. Кроме вычисления азимутов на местности была обнаружена и еще одна способность удивительного золотого ромба. Эта удивительная вещица позволяется вычислять моменты зимнего и летнего солнцестояния, весеннего и осеннего равноденствия. Это являлось незаменимым качеством для жизни древних египтян, которые поклонялись тогда в первую очередь Солнцу.

Вполне вероятно, что внушительный вид ромба являлся не только незаменимым инструментом для жрецов, но был также и эффектным украшением для его владельца. Вообще говоря, абсолютное большинство найденных на первый вид дорогостоящий на сегодняшний день украшений, являются, как узнается позже, измерительными инструментами.

Итак, людей всегда притягивала неизвестность. И, судя по тому, что так много остается загадочного и не доказанного в нашем мире, человек еще долго будет пытаться отыскать разгадки древности. И это очень здорово! Ведь у наших предков можно многому научиться. Для этого нужно много знать, уметь и учиться. А ведь невозможно стать таким высококвалифицированным специалистом без базовых знаний. В конце концов, ведь каждый великий археолог, открыватель когда-то ходил в школу!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?

С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).

И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Свойства ромба

Посмотри на картинку:

Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.

Признаки ромба

И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:

Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .

То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Свойства четырехугольников. Параллелограмм

Свойства параллелограмма

Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.

Теорема о свойствах параллелограмма.

В любом параллелограмме:

Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.

Итак, почему верно 1)?

Раз - параллелограмм, то:

как накрест лежащие
как накрест лежащие.

Значит, (по II признаку: и - общая.)

Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.

Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!

Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.

Осталось только 3).

Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.

И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).

Свойства доказали! Перейдём к признакам.

Признаки параллелограмма

Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.

В значках это так:

Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:

Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.

Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.

А значит:

И тоже несложно. Но …по-другому!

Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!

Поэтому тот факт, что означает, что.

А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.

Видишь, как здорово?!

И опять просто:

Точно так же, и.

Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.

Для полной ясности посмотри на схему:

Свойства четырехугольников. Прямоугольник.

Свойства прямоугольника:

Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()

А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что

А значит, по двум катетам (и - общий).

Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.

Доказали, что!

И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^

Давай поймём, почему?

Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.

Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!

Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .

Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!

Свойства четырехугольников. Ромб

И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?

С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).

И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Но есть и особенные свойства. Формулируем.

Свойства ромба

Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.

Почему? Да, потому же!

Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.

Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.

Признаки ромба.

А это почему? А посмотри,

Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.

Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.

Свойства четырехугольников. Квадрат

То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.

Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.

Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Свойства параллелограмма:

Противоположные стороны равны: , .
Противоположные углы равны: , .
Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны: .
Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).

Свойства ромба:

Диагонали ромба перпендикулярны: .
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).

Свойства квадрата:

Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.

краткое содержание других презентаций

«Задачи на признаки подобия треугольников» - Подобие треугольников. Определение высоты предмета по зеркалу. Определение высоты предмета по луже. Решение практических задач. Тень от палки. Определение высоты предмета. Измерение высоты больших объектов. Девиз урока. Решение задач по готовым чертежам. Самостоятельная работа. Гимнастика для глаз. Способ Фалеса. Индивидуальная карта. Определение высоты пирамиды. Назвать подобные треугольники.

«Свойства четырёхугольников» - Названия четырехугольников. Все углы прямые. Свойства четырехугольников. Трапеция. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Элементы параллелограмма. Диагонали делят углы пополам. Четырехугольник. Диктант. Диагональ. Противоположные углы. Помогите Незнайке исправить двойку. Исторические сведения. Четырехугольники и их свойства. Диагонали. Ромб. Противоположные стороны. Стороны.

«Ромб» - Признаки. Периметр. Появление ромба. Сказка про ромб. Ромб. Ромб, в котором проведены диагонали. Что такое ромб. Формула площади. Интересные факты. Свойства ромба. Ромб в жизни.

«Решение теоремы Пифагора» - Доказательство методом разложения. Площадь квадрата. Простейшее доказательство. Доказательство Перигаля. Пифагорейцы. Диагональ. Доказательство 9 века н.э. Последователи. Высота. Диаметр. Полноценное доказательство. Мотив. Шестиугольники. Доказательство методом вычитания. Квадрат. Прямоугольник. Возможности применения теоремы. Доказательство Гутхейля. Применение теоремы. Задача о лотосе. История теоремы.

««Площадь прямоугольника» 8 класс» - Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь. Найдите площадь и периметр квадрата. Единицы измерения площадей. Многоугольник составлен из нескольких многоугольников. Найти площадь треугольника. Стороны каждого из прямоугольников. Единицы. Найдите площадь квадрата. АBCD и DСМK – квадраты. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. На стороне АВ построен параллелограмм. Найдите площадь шестиугольника.

««Трапеция» 8 класс» - Трапециевидные мышцы обеих сторон спины вместе имеют форму трапеции. Задания для устной работы. Являются ли четырёхугольники трапециями. Свойства равнобедренной трапеции. Признаки равнобедренной трапеции. Виды трапеций. Площадь трапеции. Элементы трапеции. Определение. Средняя линия трапеции. Трапеция. Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом.

1. - прямая. Соответственно, решением неравенства
, является полуплоскость, лежащая ниже или выше этой прямой.

2.
- гипербола, т.к. отсюда
. Эта гипербола делит плоскость на 3 (!!!) области, поэтому знак неравенства надо проверять в каждой из них.

3.
- «лежачая парабола», т.е. парабола, повернутая на 90 по часовой стрелке. Делит плоскость на 2 части (внутри параболы и вне ее.)

- окружность с центром в начале координат, радиуса R (где R>0). Решением неравенства

является круг (т.е. вся область, лежащая внутри окружности, вместе с границей), а неравенства

- область вне круга.

5.
- при а > 0 – квадрат с вершинами в точках (а;0), (0; а), (-а; 0), (0; -а). Соответственно, решением неравенства
является область внутри квадрата, а неравенства
- область вне квадрата.

Преобразования графиков:
1 f(x-a; y-b)=0, надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0, а затем сместить его на а единиц по оси Ох, и на b единиц по оси Оy.
2 . Чтобы построить график уравнения
, надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Оy (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую левее оси Оy).
3 . Чтобы построить график уравнения
, надо выполнить симметрию графика уравнения f(x; y)=0 относительно оси Ох (не забыв при этом стереть часть исходного графика, лежащую ниже оси Ох).
4. Соответственно, чтобы построить график уравнения
, надо сначала построить график уравнения f(x; y)=0 (т.е. убрать все модули) в первой четверти , а затем выполнить симметрию этого графика относительно всех осей.
Неравенства с двумя переменными.

Чаще всего для решения используют «метод областей». То есть сначала в неравенстве заменяют знак неравенства на знак «=» и изображают полученный график на координатной плоскости. Затем «методом пробной точки» проверяют знак неравенства в каждой из образовавшихся областей.

Кроме этого, отдельно можно рассмотреть неравенства вида
и
. Для их решения сначала строят график функции
. Тогда решением первого неравенства будут точки, лежащие ниже этого графика, а решением второго, соответственно, точки, лежащие выше.

Можно еще выделить неравенства вида
. (Знак неравенства может быть и другим). Чтобы его решить, нужно сплошной линией изобразить график уравнения
и пунктирной линией - график уравнения
и проверить знак неравенства в каждой получившейся области(выбрав любую точку из каждой области).

Пример 1.

№ 9.20 (г)

Изобразите решение неравенства
и определите все значения а, при которых данное неравенство имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующему:
.

Для этого сначала построим график уравнения

а) В свою очередь, для построения этого графика воспользуемся правилом 4 преобразования графиков. Здесь f(x; a) = 5x + 2a . Графиком этого уравнения является прямая, пересекающая оси координат в точках (2, 0) и (0, 5). Т.к. мы рассматриваем случай без модулей (т.е. x
и y), то возьмем только часть этой прямой, лежащую в первой четверти.

б) чтобы построить график уравнения , выполним симметрию полученного отрезка относительно всех координатных осей и начала координат. Получим ромб с «центром» в начале координат.

б) Теперь сместим этот график на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Получили график уравнения

Видим, что координатная плоскость оказалась разбита на 2 области, внутри ромба и вне его. Видим, что, например, точка (3,-1) принадлежит внутренней области. Подставим ее координаты в неравенство . Убеждаемся, что неравенство в данной точке выполнено. Значит, все точки этой области удовлетворяют неравенству. Для проверки подставим и точку из внешней области в неравенство. Например, это точка (0, 8). При данных значениях переменных неравенство обращается в неверное числовое неравенство, а, значит, никакая точка из внешней области не удовлетворяет неравенству. Окончательно получаем, что решением неравенства является «внутренность» ромба. Показываем это штриховкой.

Ответ: данное неравенство имеет решение при

Пример 2 . Изобразить на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству
.

Решение

1. Построим линии, ограничивающие график неравенства. Это будут линии, которые являются изображением множеств тех точек, в которых числитель и знаменатель обращаются в 0. Т.е. построим графики уравнений

(А)

и
(Б)

А) Графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (2, -3) и радиусом, равным 4 – изображается сплошной линией, т.к. неравенство нестрогое.

Б) График этого уравнения – «лежачая парабола», опущенная на 1 единицу вниз – изображается пунктирной линией в силу область определения неравенства.