1. Метод проецирования. Центральное и параллельное проецирование.
Под методом проецирования понимается существование плоскостей проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. (Проекцией точки А на плоскости П 0 есть точка А 0 пересечение проецирующего луча с плоскостью проекций, который проходит через т А).
В зависимости от положения центра проецирования относительно плоскости проекций проецирование может быть центральным или параллельны.
При центральном проецировании проецирующие лучи выходят с одной точки - центра проецирования S , который находится на определённом расстоянии от плоскости проекций П 0 . Центральное проецирование обладает наглядностью, оно используется при изображении предметов в перспективе. Основной недостаток - трудность определения размеров по его изображению.
При параллельном проецировании , проецирующие лучи проходят параллельно один одному. В этом случае считают, что центр проекций отдален в бесконечность. При параллельном проецировании задается направление проецирования - S и плоскость проекций. В зависимости от направления проецирования относительно плоскости проекций параллельные проекции могут быть прямоугольными, если проецирующие лучи проходят перпендикулярно к плоскости проекций, и косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярные к плоскости проекций.
Основные свойства прямоугольного параллельного проецирования: 1) проекция точки есть точка; 2) проекция прямой есть прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то одноименная проекция точки находится на одноименной проекции прямой; 4) если точка делит отрезок в каком-то соотношении, то проекция отрезка делится в таком же соотношении; 5) если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции то же параллельны; 6) если две прямые пересекаются между собой, то они имеют общую точку, проекции этих прямых так же имеют общую точку, связанную проекционной связью.
Операция проецирования сводится к изображению множества точек предмета на плоскости проекций. При этом необходимо, чтобы между изображенными точками на плоскости и точками поверхности устанавливалось взаимное соотношение. В качестве основных плоскостей проекций берут горизонтальную (П 1), фронтальную (П 2) и профильную (П 3). Две плоскости П 1 и П 2 делят пространство не четыре двухгранных угла (квадранты), а три плоскости П 1 , П 2 и П 3 - на восемь трехгранных углов (октантов). Линии пересечения плоскостей проекций называются осями проекций (x y z).
2.Чертеж точки в системе прямоугольных координат. Способы построения недостающих проекций точек.
Точка в пространстве определяется своими координатами, которые, как правило, имеют числовые значения, например А (x, y, z), А (10, 45, 15). Прямоугольные проекции точки на плоскостях проекций определяются как основания перпендикуляров, опущенных с точки на каждую с плоскостей проекций. Проекции точек обозначаются большими буквами латинского алфавита или числами.
А′ - горизонтальная проекция точки А;
А′′ - фронтальная проекция точки А;
А′′′ - профильная поекция точки А.
Для
получения проекционного чертежа
совмещают плоскости П 1
и П 3
с фронтальной плоскостью проекций П 2
поворотом соответственно около осей
X
и Z.
Тогда на чертеже проекции А′
и А′′ размещаются
на одном перпендикуляре к оси ОX,
а А′′
и
А′′′ - на одном
перпендикуляре к оси ОZ.
Известно три способа построения
профильной проекции точки по данным
двум проекциям.
Представление о элементах центральной проекции дает рис. 11, на котором изображены:
Плоскость Т, в которой располагаются проектируемые точки местности, называется плоскостью основания (плоскостью предмета) .
Плоскость Р , куда проектируются эти точки, называется плоскостью изображения (картины) или плоскостью снимка. Предполагается, что плоскости Т и Р бесконечны и ограничение их линиями является условным.
Двухгранный угол e между плоскостями снимка и основания – это угол наклона снимка. Он произволен, но если равен нулю, то снимок считается горизонтальным.
- S – центр проекции .
Проектирующий луч Sо , перпендикулярный к плоскости снимка, называется главным лучом. Он должен совпадать с главной оптической осью фотокамеры, но в точности это не выполняется.
Точка о пересечения главного луча с плоскостью снимка называется главной точкой , а расстояние Sо - его фокусным расстоянием f . Оно должно быть равно фокусному расстоянию фотокамеры.
Точка n пересечения отвесного проектирующего луча, с плоскостью снимка называется точкой надира . Она является изображением точки N местности, которая в момент фотографирования находилась на одной отвесной линии (на линии перпендикулярной основанию) с передней узловой точкой объектива фотокамеры.
Вертикальная плоскость W, проходящая через точки S , о, n называется плоскостью главного вертикала .
След vv плоскости W на снимке это его главная вертикаль , а след VV плоскости W на основании называется линией направления съемки .
Горизонтальный проектирующий луч SI , лежащий в плоскости главного вертикала W , пересекает плоскость снимка в главной точке схода I .
Точка с пересечения биссектрисы угла Sоn (e) с плоскостью снимка называется точкой нулевых искажений . Она обладает важными свойствами, которые будут рассмотрены при изучении геометрической характеристики наклонного снимка. Точки I, o, c и n снимка располагаются на его главной вертикали.
Линии hh , лежащие в плоскости P и перпендикулярные к главной вертикали, есть горизонтали снимка . Причем, h t h t – линия основания . Это линия пересечения плоскости снимка с плоскостью основания; h c h c - линиянеискаженного масштаба – горизонталь, проходящая через точку нулевых искажений c ; h o h o – главная горизонталь , она проходит через главную точку снимка о ; h i h i – линия действительного (истинного) горизонта – линия пересечения снимка и горизонтальной плоскости (плоскости действительного горизонта), проходящей через центр проекции S.
Из анализа рис.11 следует справедливость следующих соотношений:
Перспективным изображением любой прямой пространства, например ВC , не проходящей через центр проекции, является прямая bc, и притом единственная. Но она изобразилась бы точкой, если бы располагалась на проектирующем луче, например прямая DK и точка d (или k ). Любому отрезку на снимке, например bc , соответствует бесчисленное число отрезков местности BC, B 1 C 1 и т.д.
3. Изображения любой системы взаимно параллельных прямых пространства, например AB CD и т.д., сходятся на снимке в одной точке i , которая называется точкой схода . Для того, чтобы ее получить необходимо из центра проекции провести проектирующий луч параллельно системе прямых пространства. Там, где он пересечет плоскость снимка и находится точка схода (рис.13). Любая система прямых линий, параллельных плоскости снимка, имеет точку схода в бесконечности. Если параллельные прямые находятся на местности (в плоскости основания), то точка схода их изображений расположена на линии h i h i действительного горизонта .
Построение изображения семейства отрезков, лежащих в плоскости основания и параллельных линии направления съемки (или составляющих с ним угол j ), выполняют следующим образом.
1. Отрезки продолжают до пересечения с линией основания картины. Полученные точки, принадлежат двум плоскостям – плоскости основания и плоскости снимка (картины).
2. На плоскости снимка находят положение главной точки схода J, и строят линию h i h i перпендикулярную главной вертикали (линию действительного горизонта).
3. Через центр проекции S проводят луч, параллельный заданным отрезкам. Он будет расположен в плоскости действительного горизонта. Пересечение этого луча с линией h i h i определяет точку схода J ¢ изображений отрезков.
4. Соединяют прямыми линиями точку J ¢ с точками, полученными на линии основания картины. Эти линии на снимке есть изображение лучей, идущих от линии основания картины, через заданные отрезки и до бесконечности.
5. Проводят проектирующие лучи через точки, ограничивающие отрезки. Их пересечение с построенными на снимке линиями и определяет искомое изображение.
По этому правилу и построены изображения прямых, параллельных направлению съемки (рис.14) и прямой, составляющей с направлением съемки угол j (рис.15).
 |
Точка схода изображений вертикальных (отвесных) прямых совпадает с точкой надира n (рис. 16). Пересечение B o отрезка АВ с плоскостью снимка находится на следе вертикальной плоскости, проходящей через прямую АВ и параллельной плоскости главного вертикала,. Поэтому отрезок NB o есть изображение бесконечного отвесного луча, идущего из точки B o . Проекции точек А и В принадлежат этому отрезку, значит для их построения достаточно провести проектирующие лучи. Аналогичным образом на рис. 16 построено изображение вертикальной прямой DK . Решение задачи можно было начать и с построения точки А , которая принадлежит плоскости основания.
Возможны и других приемы построения изображений параллельных линий.
 |
При центральном проецировании (построении центральных проекций) задают плоскость проекций и центр проекций - точку, не лежащую в плоскости проекций. На рисунке 1.1 плоскость Р - плоскость проекций, точка S - центр проекций.
Для проецирования произвольной точки через нее и центр проекций проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.
На рисунке 1.1 центральной проекцией точки
А
является точка
а р пересечения прямой
SA
с плоскостью
Р.
Так же построены центральные проекции b
р, с р, d pточек
В, С, D
на плоскости
Р.
Прямые, проходящие через центр проекций и проецируемые точки, называют
Центральные проекции b
р и
с р двух различных точек
В и С
в пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих одной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.
Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве.
Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например, можно задать второй центр проекций. Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек (см. рис. 1.2, 1.3). При этом проецирующие прямые (в своей совокупности), проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 1.2) или могут оказаться в одной плоскости (см. рис. 1.3), которая называется проецирующей.
Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рисунке 1.2 проецирующая коническая поверхность
При проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, проецирующей поверхностью служит плоскость. Так, на рисунке 1.3 проецирующая плоскость Т, образуемая проецирующими прямыми SC и SD, проходящими через точки С и D прямой, пересекает плоскость проекций Р по прямой c p d p , которая и является проекцией прямой CD. Соответственно проекция т р точки М прямой CD принадлежит и проекции c pdp.
Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций Р проекции треугольника ABC (рис. 1.5) достаточно построить проекции а р, b р, с р трех его точек - вершин А, В, С.
Свойства центрального проецирования.
1. При центральном проецировании:
а) точка проецируется в точку;
б) прямая, не проходящая через центр проекций, проецируется в прямую (проецирующая прямая - в точку);
в) плоская (двумерная) фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется в виде двумерной фигуры (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются вместе с ней в виде прямой);
г) трехмерная фигура отображается двумерной.
2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.
3. При заданном центре проецирования проекции фигуры на параллельных плоскостях подобны.
4. Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением, например изображения на киноэкране, фотопленке.
Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны, так как не соблюдается метрика.
В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемых в техническом черчении, лежит метод проекции . Изучение начинают с построения проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.
В книге приняты следующие обозначения:
Центральные проекции и их основные свойства
При центральном проецировании – построении центральных проекций – задают плоскость проекций и центр проецирования – точку, не лежащую в плоскости проекций. На рис. 1.1 плоскость я – плоскость проекций, точка S – центр проецирования.
Для проецирования произвольной точки через нее и центр проецирования проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.
На рис. 1.1 центральной проекцией точки А является точка пересечения прямой SA с плоскостью к. Также построены центральные проекции точек В, С, D на плоскости .
Прямые, проходящие через центр проецирования и проецируемые точки, называют проецирующими прямыми.
Центральные проекции и двух различных точек 5и Св пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих од-
ной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.
Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве, т. е. нет обратимости чертежа.
Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например можно задать второй центр проецирования. Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек. При этом проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 1.2) или могут оказаться в одной плоскости как, например, в случае, показанном на рис. 1.4.
Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рис. 1.2 проецирующая коническая поверхность β пересекается с плоскостью проекций я по кривой А°В°, являющейся проекцией линии АВ. Однако проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности может быть бесчисленное количество линий, проецирующихся в одну и те жу линию на плоскости проекций (рис. 1.3).
При проецировании прямой линии, не проходящей через центр проецирования, проецирующей поверхностью служит плоскость. Так, на рис. 1.4 проецирующая плоскость γ, образуемая проецирующими прямыми SC и SD, проходящими через точки С и D прямой, пе-
ресекает плоскость проекций л по прямой С °D °, которая и является проекцией прямой CD. Соответственно проекция М° точки М прямой CD принадлежит и проекции C°D°.
Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций п проекции треугольника АВС (рис. 1.5) достаточно построить проекции А°, В°, С° трех его точек – вершин А, В, С.
Обобщая, отметим следующие свойства центрального проецирования.
- 1. При центральном проецировании:
- а) точка проецируется точкой;
- б) прямая, не проходящая через центр проецирования, проецируется прямой (проецирующая прямая – точкой);
- в) плоская (двумерная) фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется двумерной фигурой (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются вместе с ней в виде прямой);
- г) трехмерная фигура отображается двумерной.
- 2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.
- 3. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.
- 4. Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением, например изображения на киноэкране, фотопленке.
Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны.
- От латинского projectio – бросание вперед, вдаль (отprojicere – бросить, выставить вперед).
Лекция № 1. Сведения о проекциях
1. Понятие проекций
Начертательной геометрией называют науку, которая является теоретическим фундаментом черчения. В данной науке изучаются способы изображения на плоскости различных тел и их элементов. Эти изображения позволяют однозначно определить форму и размеры изделия и изготовить его. При работе с чертежами выполняются два вида работ: подготовка чертежей и их чтение.
Чтение чертежа заключается в воспроизведении в уме реальной формы объекта и некоторых его частей с использованием при этом чертежа.
Начертательная геометрия основывается на методе проекций.
Проекцией точки М на некоторой плоскости называют изображение, которое строится в нижеследующей последовательности (рис. 1).
Через данную точку М необходимо провести прямую, которая не параллельна данной плоскости. Точку пересечения данной прямой и плоскости назовем точкой m. Полученная точка m будет являться проекцией точки М на данную плоскость. Прямую Mm называют проектирующей прямой , а данная плоскость называется плоскостью изображения .
Подобным образом можно получить проекции различных фигур как проекции каждой из его точек. Способ построения определяет вид проекции: центральную или параллельную.
2. Центральная проекция
Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.
Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.
Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.
Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.
3. Параллельная проекция
Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.
При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.
Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.
Проекция называется ортогональной , если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.
Проекция называется косоугольной , если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.
Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.