Теория поля

Известная также, как векторный анализ . А кому-то векторный анализ, известный как теория поля =) Наконец-то мы добрались до этой интереснейшей темы!Данный раздел высшей математики язык не поворачивается назвать простым, однако ж, в грядущих статьях я постараюсь достигнуть двух целей:

а) чтобы все понимали, о чём вообще идёт разговор;

б) и чтобы «чайники» научились решать, как минимум, простые вещи – хотя бы на уровне заданий, которые предлагаются студентам-заочникам.

Весь материал будет изложен в популярном стиле, и если вам нужна более строгая и полная информация, то можно взять, например, 3-й том Фихтенгольца или заглянуть в Вики .

И сразу расшифруем заголовок. С теорией, думаю, всё понятно – в лучших традициях сайта мы разберём её основы и сделаем основной упор на практику. Ну а с чем у вас ассоциируется слово «поле»?

Поле с травой, футбольное поле…. Ещё? Поле деятельности, поле экспериментов. Приветствую гуманитариев! …Из школьного курса? Электрическое поле, магнитное, электромагнитное…, так, хорошо. Гравитационное поле Земли, в котором мы находимся. Отлично! Так, кто это там сказал о поле действительных и комплексных чисел ? …совсем какие-то монстры здесь собрались! =) Благо, алгебра уже пройдена.

На ближайших уроках мы познакомимся со специфическим понятием поля , конкретными примерами из жизни, а также научимся решать тематические задачи векторного анализа. Теорию поля лучше всего изучать, как вы правильно догадываетесь, на поле – природе, где есть лес, речка, озеро, деревенский домик, и я приглашаю всех погрузиться если и не в тёплую летнюю реальность, то в приятные воспоминания:

ПолЯ в рассматриваемом сегодня смысле бывают скалярные и векторные , и начнём мы с их «кирпичиков».

Во-первых, скаляр . Довольно-таки часто этот термин ошибочно отождествляют с числом . Нет, всё обстоит немного не так: скаляр – это величина, каждое значение которой может быть выражено лишь одним числом . В физике примеров масса: длина, ширина, площадь, объём, плотность, температура и др. Всё это скалярные величины. И, кстати, масса – тоже пример.

Во-вторых, вектор . Алгебраического определения вектора я коснулся на уроке о линейных преобразованиях и одну из его частных ипостасей не знать просто невозможно =) Типичный вектор выражается двумя или бОльшим количеством чисел (своими координатами). И даже для одномерного вектора лишь одного числа не достаточно – по той причине, что у вектора есть ещё направление. И точка приложения, если вектор не свободен . Векторами характеризуют силовые физические поля, скорость и многие другие величины.

Ну что же, теперь можно приступить к сбору алюминиевых огурцов урожая:

Скалярное поле

Если каждой точке некоторой области пространства поставлено в соответствие определённое число (чаще действительное ), то говорят, что в этой области задано скалярное поле .

Рассмотрим, например, исходящий из земли перпендикулярный луч . Воткните для наглядности лопату =) Какие скалярные поля можно задать на этом луче? Первое, что напрашивается – это поле высоты – когда каждой точке луча поставлена в соответствие её высота над уровнем земли. Или, например, поле атмосферного давления – здесь каждой точке луча соответствует числовое значение атмосферного давления в данной точке.

Теперь подойдём к озеру и мысленно проведём над его поверхностью плоскость. Если каждой точке «водного» фрагмента плоскости поставить в соответствие глубину озера, то, пожалуйста – скалярное поле задано. В этих же точках можно рассмотреть и другие скалярные величины, например, температуру поверхности воды.

Важнейшим свойством скалярного поля является его инвариантность относительно системы координат. Если перевести на человеческий язык, то с какой бы стороны мы на лопату / озеро ни посмотрели – скалярное поле (высота, глубина, температура и т.д.) от этого не изменятся. Более того, скалярное поле, скажем, глубины можно ведь задать и на другой поверхности, например, на подходящей полусфере , или непосредственно на самой водной поверхности. А почему нет? Разве нельзя каждой точке полусферы, расположенной над озером, поставить в соответствие число? Плоскость я предложил исключительно ради удобства.

Добавим ещё одну координату. Возьмите в руку камень. Каждой точке этого камня можно поставить в соответствие его физическую плотность . И опять – в какой бы системе координат мы его ни рассмотрели, как бы ни крутили в руке – скалярное поле плотности останется неизменным. Впрочем, некоторые люди могут оспорить этот факт =) Такой вот философский камень.

С чисто математической точки зрения (вне физического или другого частного смысла) скалярные поля традиционно задают нашими «обычным» функциями одной , двух , трёх и бОльшего количества переменных. При этом в теории поля в широком ходу традиционные атрибуты этих функций, такие как, область определения , линии и поверхности уровня .

С трёхмерным пространством всё аналогично:
– здесь каждой допустимой точке пространства ставится в соответствие вектор с началом в данной точке. «Допустимость» определяется областями определения функций , и если каждая из них определена при всех «икс», «игрек», «зет», то векторное поле будет задано во всём пространстве.

! Обозначения : векторные поля также обозначают буквой либо , а их компоненты через либо соответственно.

Из вышесказанного давно и очевидно следует, что, по меньшей мере математически, скалярные и векторные поля можно определить и во всём пространстве. Однако с соответствующими физическими примерами я всё же поостерёгся, поскольку таких понятий, как температура , гравитация (или других) ведь где-то может и вовсе не существовать. Но это уже не ужасы, а научная фантастика =) И не только фантастика. Ибо внутри камней ветер, как правило, не дует.

Следует отметить, что некоторые векторные поля (те же поля скоростей) с течением времени быстро меняются, и поэтому во многих физических моделях рассматривают дополнительную независимую переменную . К слову, то же самое касается и скалярных полей – температура же, в самом деле, тоже не «застыла» во времени.

Однако в рамках математики мы ограничимся троицей , и при «встрече» таких полей будем подразумевать некоторый фиксированный момент времени либо время, за которое поле не успело измениться.

Векторные линии

Если скалярные поля описываются линиями и поверхностями уровня , то «форму» векторного поля можно охарактеризовать векторными линиями . Наверное, многие помнят этот школьный опыт: под лист бумаги помещаются магнит, а наверх (смотрим!) высыпаются железные опилки , которые как раз и «выстраиваются» по линиям поля.

Постараюсь сформулировать попроще: каждая точка векторной линии является началом вектора поля , который лежит на касательной в данной точке:

Разумеется, векторы линии в общем случае имеют разную длину, так на приведённом рисунке, при перемещении слева направо их длина растёт – здесь можно предположить, что мы приближаемся, например, к магниту. В силовых физических полях векторные линии так и называют – силовыми линиями . Другой, более простой пример – это гравитационное поле Земли: его силовые линии представляют собой лучи с началом в центре планеты, причём векторы силы тяжести расположены прямо на самих лучах.

Векторные линии скоростных полей называются линями тока . Ещё раз представьте пыльную бурю – частицы пыли вместе с молекулами воздуха как раз движутся по этим линиям. Аналогично с речкой: траектории, по которым движутся молекулы жидкости (и не только) – в прямом смысле и есть линии тока. Вообще, многие понятия теории поля пришли из гидродинамики, с чем мы ещё не раз столкнёмся.

Если «плоское» векторное поле задано ненулевой функцией , то его силовые линии можно найти из дифференциального уравнения . Решение данного уравнения задаёт семейство векторных линий на плоскости . Иногда в задачах требуется изобразить несколько таких линий, что обычно не вызывает затруднений – выбрали несколько удобных значений «цэ», начертили какие-нибудь там гиперболы , и порядок.

С пространственным векторным полем ситуация занятнее. Его силовые линии определяются соотношениями . Здесь нужно решить систему двух дифференциальных уравнений и получить два семейства пространственных поверхностей . Линии пересечения этих семейств и будут пространственными векторными линиями. Если все компоненты («пэ», «ку», «эр») отличны от нуля, то существует несколько технических способов решения. Я не буду рассматривать все эти способы (т.к. статья разрастется до неприличных размеров) , а остановлюсь на распространённом частном случае, когда одна из компонент векторного поля равна нулю. Давайте сразу распишем все варианты:

если , то нужно решить систему ;
если , то систему ;
и если , то .

И что-то непозволительно давно у нас не было практики:

Пример 1

Найти силовые линии векторного поля

Решение : в данной задаче , поэтому решаем систему :

Смысл очень прост. Так, если функция задаёт скалярное поле глубины озера, то соответствующая векторная функция определяет множество несвободных векторов, каждый из которых указывает направление наискорейшего подъёма дна в той или иной точке и скорость этого подъёма.

Если функция задаёт скалярное поле температуры некоторой области пространства, то соответствующее векторное поле характеризует направление и скорость наибыстрейшего прогревания пространства в каждой точке этой области.

Разберём общую математическую задачу:

Пример 3

Дано скалярное поле и точка . Требуется:

1) составить градиентную функцию скалярного поля;

Который равен разности потенциалов .

Иными словами, в потенциальном поле имеет значение лишь начальная и конечная точка маршрута. И если эти точки совпадают, то суммарная работа сил по замкнутому контуру будет равна нулю:

Давайте поднимем пёрышко с земли и доставим его в исходную точку. При этом траектория нашего движения опять же произвольная; можно даже бросить перо, снова его поднять и т.д.

Почему итоговый результат нулевой?

Перо упало из точки «а» в точку «бэ»? Упало. Сила тяжести совершила работу .

Перо попало обратно в точку «а»? Попало. А это значит, что была совершена точно такая же работа против сил тяжести , причём не важно с какими «приключениями» и какими силами – да хоть ветер задул его обратно.

Примечание : в физике знак «минус» символизирует противоположное направление.

Таким образом, суммарная работа сил равна нулю:

Как я уже отмечал, физическое и обывательское понятие работы отличаются. И это различие вам хорошо поможет понять не пёрышко и даже не кирпич, а, например, пианино:)

Дружно поднимите пианино и спустите его по лестнице вниз. Потаскайте по улице. Сколько захочется и где захочется. И если никто не вызвал дурку занесите инструмент обратно. Вы поработали? Конечно. До седьмого пота. Но с точки зрения физики никакой работы не совершено.

Словосочетание «разность потенциалов» подмывает рассказать ещё о потенциальном электростатическом поле, но бить током своих читателей как-то уж совсем не гуманно =) Тем более, примеров – непочатый край, ибо потенциальным является любое градиентное поле , коих пруд пруди.

Но легко сказать «пруд пруди»: вот дано нам векторное поле – как определить, потенциально оно или нет?

Ротор векторного поля

Или его вихревая составляющая, которая тоже выражается векторами.

Снова возьмём в руки пёрышко и аккуратно отправим его в плавание по реке. Для чистоты эксперимента будем считать, что оно однородно и симметрично относительно своего центра. Ось торчит вверх.

Рассмотрим векторное поле скорости течения, и некоторую точку водной поверхности, над которой находится центр пера.

Если в данной точке перо вращается против часовой стрелки, то поставим ей в соответствие исходящий несвободный вектор, направленный вверх. При этом, чем быстрее вращается перо, тем длиннее этот вектор, …мне почему-то он представляется таким чёрным-чёрным в ярких лучах солнца…. Если вращение происходит ПО часовой стрелке, то вектор «смотрит» вниз. Если же перо не вращается вовсе, то вектор нулевой.

Знакомьтесь – это и есть вектор ротора векторного поля скорости , он характеризует направление «завихрения» жидкости в данной точке и угловую скорость вращения пера (но не направление и не скорость самого течения!) .

Совершенно понятно, что роторный вектор есть у всех точек реки (в том числе тех, которые «под водой»), таким образом, для векторного поля скорости течения мы определили новое векторное поле!

Если векторное поле задано функцией , то его роторное поле задаётся следующей векторной функцией :

При этом, если векторы роторного поля реки велики по модулю и имеют тенденцию менять направление, то это вовсе не означает, что речь идёт об извилистой и неспокойной реке (возвращаемся к примеру) . Такая ситуация может наблюдаться и в прямолинейном русле – когда, например, в середине скорость выше, а у берегов ниже. То есть, вращение пера порождается различными скоростями течения в соседних линиях тока.

С другой стороны, если роторные векторы коротки, то это может быть и «петляющая» горная речка! Важно, чтобы в соседних линиях тока скорость самого течения (быстрого или медленного) отличалась незначительно.

И, наконец, отвечаем на поставленный выше вопрос: в любой точке потенциального поля его ротор равен нулю :

А точнее, нулевому вектору.

Потенциальное поле также называют безвихревым полем.

«Идеального» течения, конечно, не существует, но довольно часто можно наблюдать, что поле скорости реки близкО к потенциальному – плывут себе спокойно разные предметы и не вертятся, ...вы тоже представили эту картинку? Однако, плыть они могут и очень быстро, и по кривой, и то замедляться, то ускоряться – важно чтобы скорость течения в соседних линиях тока сохранялась постоянной .

Ну и, конечно, наше бренное гравитационное поле. Для следующего опыта хорошо подойдёт любой достаточно тяжёлый и однородный предмет, например, закрытая книга, непочатая банка пива или, кстати, кирпич, который таки дождался своего часа =) Зажмите его торцы руками, приподнимите вверх и аккуратно отпустите в свободное падение. Крутиться он не будет. А если и будет, то это уже ваши «личные усилия» или кирпич попался неправильный. Не поленитесь и проверьте этот факт! Только не бросайте ничего из окна, это уже не перо

После чего с чистой совестью и повышенным тонусом можно вернуться к практическим задачам:

Пример 5

Показать, что векторное поле является потенциальным и найти его потенциал

Решение : условие прямо утверждает потенциальность поля, и наша задача состоит в доказательстве этого факта. Найдём роторную функцию или, как чаще говорят – ротор данного поля:

Для удобства выпишем компоненты поля:

и начнём находить их частные производные – их удобно «перебирать» в «роторном» порядке, слева направо:
– и сразу проверяем, что (чтобы не выполнять лишней работы в случае ненулевого результата) . Едем дальше:

Таким образом:
, следовательно, поле потенциально, а значит, представляет собой градиентную функцию некоторого скалярного поля, заданного потенциалом .

Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.

Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве.

Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением

При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла

Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле.

Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке.

Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением

Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила.

Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла

Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF .

Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке.

Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей

Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения

полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».

Пример 1. Вычислить градиент векторного поля.

Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем

Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.

Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и.

Некоторые свойства оператора набла

Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования

С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:

Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:

1) производная суммы равна сумме производных

2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:

Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.

Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.

Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля(обозначаетсяrot) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор
определяется как предел отношения циркуляции поляпо некоторому контуру (L ), содержащему точкуM , и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору
, к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точкуM , а площадь области (S ) стремится к нулю:

. (1.13)

В трехмерном пространстве
через декартовы прямоугольные координаты вектора
выражается следующим образом:

или в удобной для запоминания символической форме

. (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора+

непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поляпо замкнутому контуру (L ) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S ), натянутую на этот контур:

. (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L ) и поверхности (S ) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение. Векторное поленазывается безвихревым в данной области (V ), если.

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля
.

Решение.Вектор
в координатной форме:


. Вычислим ротор по формуле (1.15):

Поле напряженности
- безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора
по контуру
1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Решение. 1)Контур (L ) – окружность радиуса
, лежащая в плоскостиz =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии
, так что
,. Для циркуляции вектораимеем:. 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S ), натянутую на контур (L ).Естественно в качестве (S ) взять круг, имеющий линию (L ) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормальк кругу необходимо взять равной
. Вычислим ротор:
. По теореме Стокса
.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии плоских векторных полей:

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Найти векторные линии:

6.
; 7.
, где
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, где
- постоянные векторы.

Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:

14.
,
;15.
,
.

Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:

16.
, (S ): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями
,
.

17.
, (S ): внешняя сторона параболоида
, ограниченного плоскостью
;

18.
,
: боковая поверхность кругового цилиндра
, ограниченного плоскостями
;

19.
, (S ): внешняя сторона части параболоида
, расположенной в первом октанте;

20.
, (S ): полная поверхность конуса
, ограниченного плоскостью
;

21. , (S ): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидом
и плоскостьюz = 0;

22.
, (S ): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями
,
,
,
;

23.
, (S ): сфера
.

Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.

24.
, (S ): верхняя сторона круга, вырезанного конусом
на плоскости

25.
, (S ): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскостис координатными плоскостями;

26. , (S ): часть плоскости
, ограниченная окружностью
, в направлении орта.

Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27.
, (S ): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28.
, (S ): поверхность куба
,
,
;

29.
, (S ): сфера
;

30.
, (S ): часть параболоида
, отсекаемая плоскостью
; в отрицательную сторону осиOx ;

31.
, (S ): поверхность тела
,
,
,

;

32. , (S ): поверхность тела
,
;

33. , (S ):;

Найти линейный интеграл вектора на плоскости:

36.
верхняя половина эллипса
от точкиA (a ,0), до точкиB (-a ,0);

37. а) отрезок прямойOB ; б) дуга параболы
; в) дуга параболы
; г) ломанаяOAB , гдеA (1,0); д) ломанаяOCB , гдеC (0,1);

39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный интеграл:

41.
,
отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45. Дана напряженность
силового поля. Найти работу поля при перемещении массыm вдоль одного витка винтовой линии

,
из точки
в точкуB (t =2);

46. Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы
от точки с абсциссой
до точки с абсциссой
.

В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:

47. в отрицательном направлении;

48.
замкнутая линия, образованная отрезками осей координатOx иOy и другой астроиды
,
, лежащей в первом квадранте;

51. линия пересечения параболоида
с координатными плоскостями (в первом октанте);

52. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг осиOz . Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиусаR , центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).

53. Найти работу поля
при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице.

Найти дивергенцию нижеследующих полей:

54.
. При какой функции
будет?

55.
;56.
- линейная скорость точек вращающейся жидкости
- угловая скорость);

57.
напряженность магнитного поля,J ,– постоянные;

58.
; 59.
;

60. Вычислить
в точке (1,-1,1).

Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:

64.
;

В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:

73. 74.

75. Показать, что если координаты вектораимеют непрерывные частные производные второго порядка, то
.

76. Показать, что еслии- постоянные векторы, то
.

77. Показать, что
.

78. Показать, что
.

79. Показать, что векторное поле
является безвихревым.

80. Показать, что ротор поля линейных скоростейточек вращающегося твердого тела есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения:
.

81. Какова должна быть функция
, чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором
?

Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:

84.
по контуру, образованному пересечением плоскости
с координатными плоскостями;

15.2. Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка

15.2.1. Потенциальное векторное поле

Определение. Векторное поленазывается потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция
, градиент которой образует это поле:

. (2.1)

Функция u называется потенциалом векторного поля.

Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:

. (2.2)

Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля .

Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

2) циркуляция (1.9) вектора по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

. (2.4)

3) потенциал
находится по формуле (2.3):

, (2.5)

где (AM ) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M . Если путь (AM ) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал
через определенные интегралы
;
):

Пример. Проверить, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.

Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

Поле потенциально. Найдем потенциал
по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точкуA (0,0,0):
.

Понятие дивергенции как локального свойства векторного поля было введено при рассмотрении потока векторного поля на замкнутой поверхности. Аналогично можно ввести соответствующую характеристику при рассмотрении циркуляции векторного поля.

Рассмотрим некоторую точку M и векторное поле a . Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором n и плоскость, перпен­дикулярную к вектору n и проходящую через точку M . Окружим точку M контуром L , лежащим в заданной плоскости. Вычислим циркуляцию векторного поля по этому контуру и возьмем отношение этой циркуляции к площади S , ограниченной контуром L :

Найдем теперь предел этого отношения при S ®0, при условии, что контур L стягивается в точку M , не выходя из плоскости. Этот предел называется ротором векторного поля a в точке M :

. (7.6)

Замечание 3. Ротор есть характеристика "вращательной составляющей" векторного поля, поэтому его обозначают как rot. Однако иногда вместо слова ротор используют термин "вихрь " и обозначают символом curl .

Выведем теперь формулу для ротора в декартовой системе координат. Пусть n совпадает с направлением оси Oz , а контуром L является прямоугольник со сторонами Dx и Dy , при этом контур обходится против часовой стрелки (см. рис. 7.3). Тогда получим

.

Для первого слагаемого получаем

(отрезки DA и BC можно не учитывать, поскольку здесь x=const и dx =0). Далее

.

Аналогично получаем для второго слагаемого

.

В результате, находим

.

Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:

, .

В векторной форме это можно следующим образом:

Эту формулу можно записать более компактно в символической форме:

. (7.8)

Формула (7.7) получается из (7.8) путем разложения определителя по первой строке.

Пример 7.4. Вычислить ротор векторного поля a =x 2 y 3 i +j +zk в точке M(1;1;1).

Решение. Записываем

Таким образом,

.

Пример 7.5. Найти ротор поля скоростей вращающего тела v =–wyi +wxj .

Решение. Поскольку v x =–wy , v y =wx , v z =0, то

.

Итак, ротор скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости. Найденный механический смысл ротора имеет более широкое значение. Например, колесо с лопастями в потоке жидкости будет иметь максимальную скорость вращения, если ось вращения будет направлена вдоль rota , при этом скорость вращения будет равна .