Главная Жидкости

Дисперсия в теории вероятности. Абсолютные показатели вариации

23.09.2019

Дисперсия случайной величины - мера разброса данной случайной величины , то есть её отклонения от математического ожидания. В статистике для обозначения дисперсии часто употребляется обозначение (сигма в квадрате). Квадратный корень из дисперсии , равный , называется стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Хотя для оценки всей выборки очень удобно использовать лишь одно значение (такое как среднее значение или моду и медиану), этот подход легко может привести к неправильным выводам. Причина такого положения лежит не в самой величине, а в том, что одна величина никак не отражает разброс значений данных.

Например, в выборке:

среднее значение равно 5.

Однако, в самой выборке нет ни одного элемента со значением 5. Возможно, Вам потребуется знать степень близости каждого элемента выборки к ее среднему значению. Или, другими словами, вам потребуется знать дисперсию значений. Зная степень изменения данных, Вы можете лучше интерпретировать среднее значение , медиану и моду . Степень изменения значений выборки определяется путем вычисления их дисперсии и стандартного отклонения.



Дисперсия и квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, характеризуют среднее отклонение от среднего значения выборки. Среди этих двух величин наибольшее значение имеет стандартное отклонение . Это значение можно представить как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего элемента выборки.

Дисперсию трудно интерпретировать содержательно. Однако, квадратный корень из этого значения является стандартным отклонением и хорошо поддается интерпретации.

Стандартное отклонение вычисляется путем определения сначала дисперсии и затем вычисления квадратного корня из дисперсии.

Например, для массива данных, приведенных на рисунке, будут получены следующие значения:

Рисунок 1

Здесь среднее значение квадратов разностей равно 717,43. Для получения стандартного отклонения осталось лишь взять квадратный корень из этого числа.

Результат составит приблизительно 26,78.

Следует помнить, что стандартное отклонение интерпретируется как среднее расстояние, на котором находятся элементы от среднего значения выборки.

Стандартное отклонение показывает, насколько хорошо среднее значение описывает всю выборку.

Допустим, Вы являетесь руководителем производственного отдела по сборке ПК. В квартальном отчете говорится, что выпуск за последний квартал составил 2500 ПК. Плохо это или хорошо? Вы попросили (или уже в отчете есть эта графа) в отчете отобразить стандартное отклонение по этим данным. Цифра стандартного отклонения, например, равна 2000. Становится понятным для Вас, как руководителя отдела, что производственная линия требует лучшего управления (слишком большие отклонения по количеству собираемых ПК).

Вспомним: при большой величине стандартного отклонения данные широко разбросаны относительно среднего значения, а при маленькой – они группируются близко к среднему значению.

Четыре статистические функции ДИСП(), ДИСПР(), СТАНДОТКЛОН() и СТАНДОТКЛОНП() – предназначены для вычисления дисперсии и стандартного отклонения чисел в интервале ячеек. Перед тем как вычислять дисперсию и стандартное отклонение набора данных, нужно определить, представляют ли эти данные генеральную совокупность или выборку из генеральной совокупности. В случае выборки из генеральной совокупности следует использовать функции ДИСП() и СТАНДОТКЛОН(), а в случае генеральной совокупности – функции ДИСПР() и СТАНДОТЛОНП():

Генеральная совокупность Функция

ДИСПР()

СТАНДОТЛОНП()
Выборка

ДИСП()

СТАНДОТКЛОН()

Дисперсия (а так же стандартное отклонение), как мы отмечали, свидетельствуют о том, в какой степени входящие в набор данных величины разбросаны вокруг среднего арифметического.

Малое значение дисперсии или стандартного отклонения говорит о том, что все данные сосредоточены вокруг среднего арифметического, а большое значение этих величин – о том, что данные разбросаны в широком диапазоне значений.

Дисперсию достаточно трудно интерпретировать содержательно (что значит малое значение, большое значение?). Выполнение Задания 3 позволит визуально, на графике, показать смысл дисперсии для набора данных.

Задания

· Задание 1.

· 2.1. Дать понятия: дисперсия и стандартное отклонение; их символьное обозначение при статистической обработке данных.

· 2.2. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 1 и произвести необходимые расчеты.

· 2.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах

· 2.4. Пояснить все обозначения ( , , )

· 2.5. Пояснить практическое значение понятия дисперсия и стандартное отклонение.

Задание 2.

1.1. Дать понятия: генеральная совокупность и выборка; математическое ожидание и среднее арифметическое их символьное обозначение при статистической обработке данных.

1.2. В соответствии с рисунком 2 оформить рабочий лист и произвести расчеты.

1.3. Привести основные формулы, используемые при расчетах (для генеральной совокупности и выборке).

Рисунок 2

1.4. Объяснить, почему возможны получения таких значений средних арифметических в выборках как 46,43 и 48,78 (см. файл Приложение). Сделать выводы.

Задание 3.

Имеется две выборки с различным набором данных, но среднее для них будет одинаковым:

Рисунок 3

3.1. Оформить рабочий лист в соответствии с рисунком 3 и произвести необходимые расчеты.

3.2. Приведите основные формулы расчета.

3.3. Постройте графики в соответствии с рисунками 4, 5.

3.4. Поясните полученные зависимости.

3.5. Аналогичные вычисления проведите для данных двух выборок.

Исходная выборка 11119999

Значения второй выборки подбираете так, что бы среднее арифметическое для второй выборки было таким же, например,:

Подберите значения для второй выборки самостоятельно. Оформите вычисления и построения графиков подобно рисункам 3, 4, 5. Покажите основные формулы, которые использовали при вычислениях.

Сделайте соответствующие выводы.

Все задания оформить в виде отчета со всеми необходимыми рисунками, графиками, формулами и краткими пояснениями.

Примечание: построение графиков обязательно пояснить с рисунками и краткими пояснениями.

Наряду с изучением вариации признака по всей по всей совокупности в целом часто бывает необходимо проследить количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.
Выделяют дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую .
Общая дисперсия σ 2 измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию, .

Межгрупповая дисперсия (δ) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:
.

Внутригрупповая дисперсия (σ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она вычисляется по формуле:
.

Средняя из внутригрупповых дисперсий : .

Существует закон, связывающий 3 вида дисперсии. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии: .
Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий .

В анализе широко используется показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он носит название эмпирического коэффициента детерминации (η 2): .
Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения (η) :
.
Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1.
Покажем его практическое использование на следующем примере (табл. 1).

Пример №1 . Таблица 1 - Производительность труда двух групп рабочих одного из цехов НПО «Циклон»

Рассчитаем общую и групповые средние и дисперсии:




Исходные данные для вычисления средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии представлены в табл. 2.
Таблица 2
Расчет и δ 2 по двум группам рабочих.


Группы рабочих 		Численность рабочих, чел. Средняя, дет./смен. Дисперсия

Прошедшие техническое обучение

5 95 42,0

Не прошедшие техническое обучение

5 81 231,2

Все рабочие

10 88 185,6
Рассчитаем показатели. Средняя из внутригрупповых дисперсий:
.
Межгрупповая дисперсия

Общая дисперсия:
Таким образом, эмпирическое корреляционное соотношение: .

Наряду с вариацией количественных признаков может наблюдаться и вариация качественных признаков. Такое изучение вариации достигается посредством вычисления следующих видов дисперсий:

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

где n i – численность единиц в отдельных группах.
Доля изучаемого признака во всей совокупности, которая определяется по формуле:
Три вида дисперсии связаны между собой следующим образом:
.

Это соотношение дисперсий называется теоремой сложения дисперсий доли признака.

Дисперсия в статистике определяется как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. Распространенный способ расчета квадратов отклонений вариантов от средней с их последующим усреднением.

В экономически-статистическом анализе вариацию признака принято оценивать чаще всего с помощью среднего квадратического отклонения, оно представляет собой корень квадратный из дисперсии.

(3)

Характеризует абсолютную колеблемость значений варьирующего признака выражается в тех же единицах измерения, что и варианты. В статистике часто возникает необходимость сравнения вариации различных признаков. Для таких сравнений используется относительный показатель вариации, коэффициент вариации.

Свойства дисперсии:

1)если из всех вариант вычесть какое-либо число, то дисперсия от этого не изменится;

2) если все значения вариант разделить на какое-либо число b, то дисперсия уменьшится в b^2 раз, т.е.

3) если исчислить средний квадрат отклонений от какого-либо числа с неравного средней арифметической, то он будет больше дисперсии . При этом на вполне определенную величину на квадрат разности между средней величиной поc.

Дисперсию можно определить как разницу между средним квадратом и средней в квадрате.

17. Групповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсии

Если статистическая совокупность разбита на группы или части по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсии: групповые (частные), средне групповые (частных), и межгрупповая.

Общая дисперсия – отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в данной статистической совокупности.

Групповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы, называемой групповой средней. При этом групповая средняя не совпадает с общей средней для всей совокупности.

Групповая дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.

Средняя групповых дисперсий - определяется как среднее взвешенное арифметическое из дисперсий групповых, причем весами являются объемы групп.

Межгрупповая дисперсия - равна среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака.

Между рассмотренными видами дисперсий существует определенное соотношение: общая дисперсия равна сумме средней групповой и межгрупповой дисперсии.

Это соотношение называется правилом сложения дисперсии.

18. Динамический ряд и его составные элементы. Виды динамических рядов.

Ряд в статистике - это цифровые данные, показывающие, изменение явления во времени или в пространстве и дающие возможность производить статистическое сравнение явлений как в процессе их развития во времени, так и по различным формам и видам процессов. Благодаря этому можно обнаружить взаимную зависимость явлений.

Процесс развития движения социальных явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя (например, число осуждённых за 10 лет), расположенных в хронологическом порядке. Их составными элементами являются цифровые значения данного показателя и периоды или моменты времени, к которым они относятся.

Важнейшая характеристика рядов динамики - их размер (объём, величина) того или иного явления, достигнутых в определённых период или к определённому моменту. Соответственно, величина членов ряда динамики - его уровень. Различают начальный, средний и конечный уровни динамического ряда. Начальный уровень показывает величину первого, конечный - величину последнего члена ряда. Средний уровень представляет собой среднюю хронологическую вариационного рада и исчисляется в зависимости от того, является ли динамический ряд интервальным или моментным.

Ещё одна важная характеристика динамического ряда - время, прошедшее от начального до конечного наблюдения, или число таких наблюдений.

Существуют различные виды рядов динамики, их можно классифицировать по следующим признакам.

1) В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных и производных показателей (относительных и средних величин).

2) В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определённые моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определённые интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Моментные ряды в аналитической работе правоохранительных органов используются сравнительно редко.

В теории статистики выделяют рады динамики и по ряду других классификационных признаков: в зависимости от расстояния между уровнями - с равностоящими уровнями и неравностоящими уровнями во времени; в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса - стационарные и не стационарные. При анализе динамических рядов исходят из следующего уровни ряда представляют в виде составляющих:

Y t = TP + Е (t)

где ТР – детерминированная составляющая определяющая общую тенденцию изменения во времени или тренд.

Е (t) – случайная компонента, вызывающая колеблимость уровней.

Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.

Вспомним основы

Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.

Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.

Среднее арифметическое

Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.

Дисперсия

Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.

У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.

Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?

Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.

Зависимость от количества экспериментов

Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?

Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.

Задача

Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.

Математическое ожидание

Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.

Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.

Ещё один пример

Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.

Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.

Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.

Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.

Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.

Отклонение

Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.

Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.

Программное обеспечение

Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.

Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

В заключение

Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.

Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.

Дисперсия случайной величины является мерой разброса значений этой величины. Малая дисперсия означает, что значения сгруппированы близко друг к другу. Большая дисперсия свидетельствует о сильном разбросе значений. Понятие дисперсии случайной величины применяется в статистике. Например, если сравнить дисперсию значений двух величин (таких как результаты наблюдений за пациентами мужского и женского пола), можно проверить значимость некоторой переменной. Также дисперсия используется при построении статистических моделей, так как малая дисперсия может быть признаком того, что вы чрезмерно подгоняете значения.

Шаги

Вычисление дисперсии выборки

  1. Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.

    • Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
    • Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.

  2. Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:

    • s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
    • s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
    • x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
    • x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
    • x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
    • n – количество значений в выборке.

  3. Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.

    • В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
      Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
      Выборочное среднее x̅ = 14.
    • Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.

  4. Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.

    • В нашем примере:
      x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
      x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
      x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
      x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
      x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
      x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1
    • Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).

  5. Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.

    • В нашем примере:
      ( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
      (x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
      9 2 = 81
      (-7) 2 = 49
      (-5) 2 = 25
      (-1) 2 = 1
    • Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.

  6. Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.

    • В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

  7. Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.

    • В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
      Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2

  8. Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .

    • В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.

    Вычисление дисперсии совокупности

    1. Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:

      • В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
        x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
        x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
        x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
        x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
        x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
        x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}

    2. Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:

      • σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
      • σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
      • x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
      • Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
      • μ – среднее значение совокупности.
      • n – количество значений в генеральной совокупности.

    3. Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.

      • Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
      • В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5

    4. Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.

      • В нашем примере:
        x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5

    5. Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.

      • В нашем примере:
        ( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
        (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
        (-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности.
      • Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
      • Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.