Основы теории электромагнитного поля Изучая электромагнитную индукцию, мы видели, что при рассмотрении этого явления в определенной инерциальной системе отсчета возможны две различные причины возникновения индукционного тока: либо появление вихревого электрического поля, либо действие силы Лоренца на движущиеся вместе с проводником электрические заряды со стороны магнитного поля. Однако при анализе возникновения ЭДС индукции за счет силы Лоренца в опыте с металлической рамкой, движущейся в магнитном поле (рис. 9.1), мы можем рассуждать и иначе. Перейдем в систему отсчета, связанную с движущейся рамкой. В ней заряды неподвижны и, следовательно, со стороны магнитного поля сила на них не действует. Как же объяснить возникновение ЭДС индукции в этой системе отсчета? Единственное, что остается предположить,-это наличие в этой системе электрического поля, направленного перпендикулярно магнитному вдоль стороны ab рамки, которого не было в исходной системе отсчета. Действительно, в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд сила определяется формулой (9.4), и, поскольку в системе отсчета, связанной с рамкой, v=0, сила Сможет быть обусловлена только электрическим полем Е", существующим в этой системе. Итак, мы приходим к выводу об относительном характере электрического и магнитного полей. Согласно принципу относительности, с которым подробнее познакомимся ниже (см. стр. 484), все инерциальные Рис. 10.1. К объяснению возникновения ЭДС индукции в разных системах отсчета системы отсчета равноправны. В обсуждаемом здесь опыте наблюдаемой величиной является ЭДС индукции в рамке, и она существует независимо от того, в какой инерциальной системе этот опыт рассматривается. Как мы видели, в одной системе отсчета, где электрическое поле отсутствует, существование ЭДС объясняется силой Лоренца (рис. 10.1а), в то время как в другой, где рамка неподвижна,-только наличием электрического поля (рис. 10.1 б). При малых скоростях (t>«;c), когда можно пренебречь изменением силы F при переходе от одной системы отсчета к другой, из формулы (9.^ следует, что напряженность электрического поля Е в системе, где рамка неподвижна, должна быть равна Е"= rx В. (10. Итак, движущийся магнит кроме магнитного созда° и электрическое поле. Обратим внимание на то, что относительный харак тер электрического и магнитного полей мы могли заметить и раньше. В самом деле, неподвижный заряд создает только электрическое поле. Однако заряд, неподвижный в какой-либо одной системе отсчета, oi носительно других систем отсчета движется. Такой движущийся заряд подобен электрическому току и по тому создает магнитное поле. Таким образом, если в какой-либо системе отсчета есть только электрическое поле, то в любой другой системе будет еще и магнитное. Получим формулу для индукции магнитного поля в этом случае, аналогичную формуле (10.1). Рассмотрим систему отсчета, движущуюся со скоростью у относительно заряда q. В этой системе отсчета заряд движется со скоростью - v. Воспользуемся законом Био - Савара Лапласа (8.2) для нахождения индукции магнитного поля В", создаваемого движущимся со скоростью - i зарядом q. Ток / выражается через концентрацию п элементарных зарядов q0, скорость их движения площадь сечения проводника S следующим образом: I-q0nSv. Подставляя это выражение в закон Био - Савара Лапласа (8.2) и учитывая, что векторы А/ и - параллельны, получаем 4п г Так как q0nSAI есть полный заряд q, находящийся в рассматриваемом объеме проводника SAI, то создава емое этим зарядом при движении магнитное поле естг Но в этой же точке заряд q создает электрическое поле Е, равное (10.3) Сравнивая (10.2) и (10.3), видим, что магнитное поле, создаваемое движущимся со скоростью - у зарядом, связано с электрическим полем Е, создаваемым этим же зарядом в той системе отсчета, где он неподвижен, соотношением В" = - еоИоух Е. Эта формула, полученная для точечного заряда, справедлива и для поля, создаваемого любым распределением зарядов. Таким образом, если в некоторой системе отсчета существует только электрическое поле Е, то в другой системе отсчета, движущейся со скоростью у относительно исходной, существует еще и магнитное поле В", которое вычисляется по формуле (10.4). Формулы (10.1) и (10.4) представляют собой частные случаи преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они справедливы при малой относительной скорости систем отсчета (v
По существу, возможность путем соответствующего выбора ИСО обнаружить или только электрическое, или только магнитное, или и то и другое воздействие электромагнитного поля на заряды и токи было известно и в классической, до релятивистской электродинамике (т.е. до создания СТО).
Действительно, классическая формула для силы Лоренца распадается на два слагаемых: первое определяет электрическую часть этой силы, второе - магнитную часть. Поскольку магнитное действие испытывает только движущийся заряд, то переходя в ИСО, в которой этот заряд будет неподвижным, приборы не обнаружат магнитного * действия. Но никакого исчезновения (или возникновения) материи при этом не происходит: ни в одной ИСО нельзя одновременно устранить и электрическое и магнитное воздействие Дело в том, что существует единое электромагнитное поле, но исторически сложилось так, что его различные проявления (в зависимости от условий наблюдения, от выбора ИСО) получили самостоятельные названия: электрическое воздействие (при этом электромагнитное поле называется электрическим), магнитное воздействие (в этом случае электромагнитное поле называется магнитным). Речь идет фактически о стационарных или статических полях. Именно в этом случае уравнения Максвелла распадаются на две группы уравнений, одни из которых описывают электрические проявления электромагнитного поля, другие - магнитные. В нестационарном же случае такое разделение уже сделать невозможно, и при всяком изменении во времени электрического (магнитного) поля возбуждаются вихри магнитного (электрического) поля. Подобный взаимосвязанный процесс может распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И в любой ИСО можно будет обнаружить единое электромагнитное поле как единую материальную cpеду.
Все это, в принципе, было известно и до создания СТО (за исключением того, что электромагнитное поле считалось не одним из видов материи, а особым состоянием электромагнитного эфира). Главное различие результатов СТО по сравнению с формулами до релятивистской физики состоит в различных аналитических выражениях для преобразований характеристик электромагнитного поля
В качестве иллюстрации относительности деления единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное рассмотрим следующую задачу: по проводнику идет постоянный ток, рассмотреть поле этого тока, исходя из двух ИСО «Проводник» и «Электрон», связав каждую из них с соответствующим объектом
В ИСО «Проводник» кристаллическая решетка проводника неподвижна, а с некоторой скоростью движутся электроны проводимости. Так как по проводнику течет постоянный ток, то сколько электронов «заходит» в проводник, столько же «выходит», это следует из определения постоянного тока. Поэтому, как до замыкания цепи, так и после в целом проводник оказывается нейтральным. Математически это можно записать так: или, где -объемные плотности положительных зарядов кристаллической решетки и электронов, создающих в данной ИСО электрический ток с плотностью причем, знак (-) учитывает знак заряда электронов, n - объемная плотность электронов, u –скорость их направленного движения.
В ИСО «Электрон» электроны проводимости неподвижны, но движется кристаллическая решетка со скоростью (-u ) . В этой ИСО изменится объемная плотность и положительных и отрицательных зарядов согласно формулам * :
где, так как положительные ионы в ИСО «Проводник» неподвижны.
Соответственно,
Составим выражение
что больше нуля,- проводник в ИСО «Электрон» приобретает положительный заряд. И если в ИСО «Проводник» вокруг проводника с помощью приборов (т. е. объективно) можно обнаружить магнитное поле, то в ИСО «Электрон» приборы зафиксируют и электрическое поле (от заряженного проводника), и магнитное поле (от тока, связанного с движением ионов решетки в этой ИСО).
Отметим еще раз, что никакого творения материи не происходит, в обеих ИСО существует единое электромагнитное поле. Но путем выбора ИСО, т. е. условий наблюдения этого материального объекта, мы обнаруживаем у него разные проявления, разные свойства.
Так как при переходе от одной ИСО к другой изменяется не только величина, но также и плотность тока, а с этими характеристиками зарядов и токов непосредственно связаны характеристики электромагнитного поля, его векторы и, что и указывает на относительный характер этих величин.
где v – скорость относительного движения двух ИСО.
Из приведенных формул следует, что если в одной ИСО есть только электрическое поле, то в другой ИСО обнаруживается не только электрическое, но и магнитное поле.
Мы еще раз убеждаемся, что деление единого электромагнитного поля на электрическое и магнитное относительно.
* Еще совсем недавно считали, что только магнитное поле является релятивистским объектом. Это конечно происходило как от незнания истории физики, так и принципа относительности А. Эйнштейна. Релятивистским объектом является единое электромагнитное поле, а как оно проявит себя в выбранной системе отсчета (электрическим или магнитным действием) не разрешает нам только магнитное поле считать релятивистским, а электрическое – нерелятивистским.
* Вывод используемых формул читатель найдет в книге автора «Специальная теория относительности»,изд.ПОИПКРО,1995г.,с.85.
Законы преобразования и относительности
Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы. Это его свойство связано с определенным состоянием поля. Действительно, в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, так как любая область пространства содержит бесконечно большое число точек.
Электрическое и магнитное поля являются различными проявлениями единого электромагнитного поля, которое также подчиняется принципу суперпозиции. Деление электромагнитного поля на электрическое поле и магнитное поле имеет относительный характер, так как зависит от выбора системы отсчета.
Например, заряд движется в инерциальной системе отсчета S с постоянной скоростью v или при движении одинаковых зарядов навстречу друг другу с постоянной скоростью v. В данной системе отсчета наблюдаются как электрическое, так и магнитное поля этого заряда, но изменяющие во времени. При переходе в другую инерциальную систему отсчета S * , движущуюся вместе с зарядом, наблюдается только электрическое поле, так как заряд в ней покоится. Если в S - системе отсчета существует постоянное, неоднородное магнитное поле (например, подковообразный магнит), то в S * - системе, движущейся относительно S - системы, наблюдаются переменные электрическое и магнитное поля.
Соотношения между электрическим и магнитным полями неодинаковы в различных системах отсчета.
Эксперименты показывают, что заряд любой частицы - инвариантен, т. е. не зависит от скорости движения частицы и от выбора инерциальной системы отсчета. Теорема Гаусса
справедлива не только для покоящихся зарядов, но и для движущихся, т. е. она инвариантна относительно инерциальных систем отсчета.
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой электрическое и магнитное поля преобразуются. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: S и движущаяся относительно нее, со скоростью система S * . Если в некоторой пространственно - временной точке А системы S известны значения полей и, то какими будут значения этих полей * и * в той же самой пространственно-временной точке А системы S * ? Пространственно - временной точкой А называют такую точку, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца, т. е.
Законы преобразования этих полей согласно специальной теории относительности выражаются следующими четрьмя формулами:
Символами || и ^ отмечены продольные и поперечные (по отношению к вектору) составляющие электрического и магнитного полей; с - скорость света в вакууме;
Из уравнений видно, что каждый из векторов * и * выражается как через, так и через, что свидетельствует о единой природе электрического и магнитного полей.
Например, модуль напряженности вектора Е свободно движущегося релятивистского заряда описывается формулой
где a - угол между радиус-вектором и вектором скорости.
В предыдущей главе мы выяснили, что электрическое и магнитное поля всегда должны рассматриваться вместе как одно полное электромагнитное поле. Деление же электромагнитного поля на электрическое и магнитное имеет относительный характер: такое деление в решающей степени зависит от системы отсчета, в которой рассматриваются явления. При этом поле, постоянное в одной системе отсчета, в общем случае оказывается переменным в другой системе. Рассмотрим некоторые примеры.
Заряд движется в инерциальной К-системе отсчета с постоянной скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать как электрическое, так и магнитное поля данного заряда, причем оба поля переменные во времени. Если же перейти в инерциальную К¢-систему, перемещающуюся вместе с зарядом, то в ней заряд покоится и мы будем наблюдать только электрическое поле.
Два одинаковых заряда движутся в К-системе отсчета навстречу друг другу с одинаковой скоростью v . В этой системе отсчета мы будем наблюдать и электрическое и магнитное поля, оба переменные. Найти такую К¢-систему, где наблюдалось бы только одно из полей, в данном случае нельзя.
В К-системе существует постоянное неоднородное магнитное поле (например, поле неподвижного постоянного магнита). Тогда в К¢-системе, движущейся относительно К-системы, мы будем наблюдать переменное магнитное и электрическое поля.
Таким образом, становится ясно, что соотношение между электрическим полем и магнитным полем оказывается разным в различных системах отсчета. При переходе от одной системы отсчета к другой поля и определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы.
Поскольку векторы и , характеризующие электромагнитное поле, зависят от системы отсчета, возникает естественный вопрос об инвариантах, т.е. не зависящих от системы отсчета количественных характеристиках электромагнитного поля (инвариант обозначают inv; см. например, (43.1)).
Можно показать, что существуют два таких инварианта, представляющие собой комбинации векторов и , это
Inv; E 2 - c 2 B 2 = inv, (43.1)
где с – скорость света в вакууме.
Инвариантность этих величин (относительно преобразований Лоренца) является следствием формул преобразования полей при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Использование данных инвариантов позволяет в ряде случаев быстро и просто находить решение и делать соответствующие выводы и предсказания. Приведем наиболее важные из них:
Из инвариантности скалярного произведения сразу следует, что в случае, когда в какой-либо системе отсчета ^ , т.е. = 0, то и во всех других инерциальных системах отсчета ^ ;
Из инвариантности E 2 - c 2 B 2 следует, что в случае, когда E = c B (т.е. когда E 2 - c 2 B 2 = 0), то и в любой другой инерциальной системе отсчета E¢ = c B¢;
Если в какой-либо системе отсчета угол между векторами и острый (или тупой), - это значит, что больше (либо меньше) нуля, - то угол между векторами и также будет острым (или тупым) во всякой другой системе отсчета;
Если в какой-либо системе отсчета E > c B (или E < c B) – это значит, что E 2 - c 2 B 2 > 0 (либо E 2 - c 2 B 2 < 0), то и в любой другой системе отсчета будет также E¢ > c B¢ (или E¢ < c B¢);
Если оба инварианта равны нулю, то во всех инерциальных системах отсчета ^ и E = c B, именно это и наблюдается в электромагнитной волне;
Если равен нулю только инвариант , то можно найти такую систему отсчета, в которой или E¢ = 0, или B¢ = 0; какое именно, определяется знаком другого инварианта. Справедливо и обратное утверждение: если в какой-либо системе отсчета E = 0 или B = 0, то во всякой другой системе отсчета ^ .
И последнее. Нужно помнить, что поля и , вообще говоря, зависят и от координат, и от времени. Поэтому каждый из инвариантов (43.1) относится к одной и той же пространственно-временной точке поля, координаты и время которой в разных системах отсчета связаны преобразованиями Лоренца.
К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.
Согласно принципу относительности Эйнштейна механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины в них преобразуются по определенным правилам.
Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.
Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.
Когда мы сказали, что магнитная сила на заряд пропорциональна его скорости, вы, наверное, подумали: «Какой скорости? По отношению к какой системе отсчета?» Из определения , данного в начале этой главы, на самом деле ясно, что этот вектор будет разным в зависимости от выбора системы отсчета, в которой мы определяем скорость зарядов. Но мы ничего не сказали о том, какая же система подходит для определения магнитного поля.
Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество - не независимые вещи, они всегда должны быть взяты в совокупности как одно полное электромагнитное поле. Хотя в статическом случае уравнения Максвелла разделяются на две отдельные пары: одна пара для электричества и одна для магнетизма, без видимой связи между обоими полями, тем не менее в самой природе существует очень глубокая взаимосвязь между Ними, возникающая из принципа относительности. Исторически принцип относительности был открыт после уравнений Максвелла. В действительности же именно изучение электричества и магнетизма привело Эйнштейна к открытию принципа относительности. Но посмотрим, что наше знание принципа относительности подскажет нам о магнитных силах, если предположить, что принцип относительности применим (а в действительности так оно и есть) к электромагнетизму.
Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным зарядом, движущимся со скоростью параллельно проволоке, по которой течет ток (фиг. 13.10). Постараемся разобраться в происходящем, используя две системы отсчета: одну, связанную с проволокой, как на фиг. 13.10, а, а другую - с частицей, как на фиг. 13.10, б. Мы будем называть первую систему отсчета , а вторую .
Фигура 13.10. Взаимодействие проволоки с током и частицы с зарядом , рассматриваемое в двух системах координат.
а - в системе покоится проволока; б - в системе покоится заряд.
В системе на частицу явно действует магнитная сила. Сила направлена к проволоке, поэтому, если заряду ничего не мешает, его траектория загнется в сторону проволоки. Но в системе магнитной силы на частицу быть не может, потому что скорость частицы равна нулю. Что же, следовательно, она так и будет стоять на месте? Увидим ли мы в разных системах разные вещи? Принцип относительности утверждает, что в системе мы увидели бы тоже, как частица приближается к проволоке. Мы должны попытаться понять, почему такое могло бы произойти.
Вернемся к нашему атомному описанию проволоки, по которой идет ток. В обычном проводнике, вроде меди, электрические токи возникают за счет движения части отрицательных электронов (называемых электронами проводимости), тогда как положительные ядерные заряды и остальные электроны остаются закрепленными внутри материала. Пусть плотность электронов проводимости есть , а их скорость в системе есть . Плотность неподвижных зарядов в системе есть , что должно быть равно с обратным знаком, потому что мы берем незаряженную проволоку. Поэтому вне проволоки электрического поля нет, и сила на движущуюся частицу равна просто
Используя результат, найденный нами в уравнении (13.18) для магнитного поля на расстоянии от оси проволоки, мы заключаем, что сила, действующая на частицу, направлена к проволоке и равна по величине
.
С помощью уравнений (13.4) и (13.5) ток может быть записан как , где - площадь поперечного сечения проволоки. Тогда
(13.20)
Мы могли бы продолжить рассмотрение общего случая произвольных скоростей и , но ничуть не хуже будет взять частный случай, когда скорость частицы совпадает со скоростью электронов проводимости. Поэтому мы запишем , и уравнение (13.20) приобретет вид
(13.21)
Теперь обратимся к тому, что происходит в системе , где частица покоится и проволока бежит мимо нее (влево на фиг. 13.10, б) со скоростью . Положительные заряды, движущиеся вместе с проволокой, создадут около частицы некоторое магнитное поле . Но частица теперь покоится, так что магнитная сила на нее не действует! Если и возникает какая-то сила, то она должна появиться за счет электрического поля. Выходит, что движущаяся проволока создает электрическое поле. Но она может это сделать, только если она кажется заряженной; должно получаться так, чтобы нейтральная проволока с током казалась заряженной, если ее привести в движение.
Нужно в этом разобраться. Попробуем вычислить плотность зарядов в проволоке в системе , пользуясь тем, что мы знаем о ней в системе . На первый взгляд можно было бы подумать, что плотности одинаковы, но из гл. 15 (вып. 2) мы знаем, что при переходе от одной системы к другой длины меняются, следовательно, объемы также изменятся. Поскольку плотности зарядов зависят от объема, занимаемого зарядами, плотности будут также меняться.
Прежде чем определить плотности зарядов в системе , нужно знать, что происходит с электрическим зарядом группы электронов, когда заряды движутся. Мы знаем, что кажущаяся масса частицы приобретает множитель . Происходит ли что-нибудь подобное с ее зарядом? Нет! Заряды никогда не меняются независимо от того, движутся ли они или нет. Иначе мы не могли бы наблюдать на опыте сохранение полного заряда.
Возьмем кусок вещества, например проводника, и пусть он вначале незаряжен. Теперь нагреем его. Поскольку масса электронов иная, чем у протонов, скорости электронов и протонов изменятся по-разному. Если бы заряд частицы зависел от скорости частицы, которая его переносит, то в нагретом куске заряды электронов и протонов не были бы скомпенсированы. Кусок материала при нагревании становился бы заряженным.
Фигура 13.11. Если распределение заряженных
частиц имеет плотность зарядов , то с точки зрения системы,
движущейся с относительной скоростью , плотность зарядов будет равна 
.
Мы видели раньше, что очень малое изменение заряда у каждого из электронов в куске привело бы к огромным электрическим полям. Ничего подобного никогда не наблюдалось.
Кроме того, можно заметить, что средняя скорость электронов в веществе зависит от его химического состава. Если бы заряд электрона менялся со скоростью, суммарный заряд в куске вещества изменялся бы в ходе химической реакции. Как и раньше, прямое вычисление показывает, что даже совсем малая зависимость заряда от скорости привела бы в простейших химических реакциях к огромным полям. Ничего похожего не наблюдалось, и мы приходим к выводу, что электрический заряд отдельной частицы не зависит от состояния движения или покоя.
Итак, заряд частицы есть инвариантная скалярная величина, не зависящая от системы отсчета. Это означает, что в любой системе плотность зарядов у некоторого распределения электронов просто пропорциональна числу электронов в единице объема. Нам нужно только учесть тот факт, что объем может меняться из-за релятивистского сокращения расстояний.
Применим теперь эти идеи к нашей движущейся проволоке. Если взять проволоку длиной , в которой плотность неподвижных зарядов есть , то в ней будет содержаться полный заряд . Если те же заряды движутся в другой системе со скоростью , то они все будут находиться в куске материала меньшей длины
но того же сечения , поскольку размеры в направлении, перпендикулярном движению, не меняются (фиг. 13.11).
Если через обозначить плотность зарядов в системе, где они движутся, то полный заряд будет , Но это должно быть также равно , потому что заряд в любой системе одинаков, следовательно, , или с помощью (13.22)
Плотность зарядов движущейся совокупности зарядов меняется таким же образом, как и релятивистская масса частицы. Применим теперь этот результат к плотности положительных зарядов в нашей проволоке. Эти заряды покоятся в системе . Однако в системе , где проволока движется со скоростью , плотность положительных зарядов становится равной
Отрицательные заряды в системе покоятся, поэтому их плотность в этой системе есть «плотность покоя» . В уравнении (13.23) , потому что их плотность зарядов равна , если проволока покоится, т. е. в системе , где скорость отрицательных зарядов равна . Тогда для электронов проводимости мы получаем
. (13.26)
Теперь мы можем понять, почему в системе возникают электрические поля: потому что в этой системе в проволоке имеется результирующая плотность зарядов , даваемая формулой
С помощью (13.24) и (13.26) имеем
.
Поскольку покоящаяся проволока нейтральна, , получаем
, (13.27)
Наша движущаяся проволока заряжена положительно и должна создавать поле в точке, где находится внешняя покоящаяся частица. Мы уже решали электростатическую задачу об однородно заряженном цилиндре. Электрическое поле на расстоянии от оси цилиндра есть
. (13.28)
Сила, действующая на отрицательно заряженную частицу, направлена к проволоке. Мы имеем силу, направленную одинаково в обеих системах; электрическая сила в системе направлена так же, как магнитная сила в системе . Величина силы в системе равна
. (13.29)
Сравнивая этот результат для с нашим результатом для в уравнении (13.21), мы видим, что величины сил с точки зрения двух наблюдателей почти одинаковы. Точнее,
поэтому для малых скоростей, которые мы рассматриваем, обе силы одинаковы. Мы можем сказать, что по меньшей мере для малых скоростей магнетизм и электричество суть просто «две разные стороны одной и той же вещи».
Но оказывается, что все обстоит даже еще лучше, чем мы сказали. Если принять во внимание тот факт, что силы также преобразуются при переходе от одной системы к другой, то окажется, что оба способа наблюдения за происходящим дают на самом деле одинаковые физические результаты при любой скорости.
Чтобы это увидеть, можно, например, задать вопрос: какой поперечный импульс приобретет частица, на которую в течение некоторого времени действовала сила? Мы знаем из вып. 2, гл. 16, что поперечный импульс частицы должен быть один и тот же как в системе , так ив системе . Обозначим поперечную координату и сравним и . Используя релятивистски правильное уравнение движения , мы ожидаем, что за время наша частица приобретет поперечный импульс в системе , даваемый выражением
В системе поперечный импульс будет равен
Фигура. 13.12. В системе плотность зарядов есть нуль, а плотность тока равна . Есть только магнитное поле. В системе плотность зарядов равна , а плотность тока . Магнитное поле здесь равно и существует электрическое поле .
Мы должны сравнивать и , конечно, для соответствующих интервалов времени и . В гл. 15 (вып. 2) мы видели, что интервалы времени, относящиеся к движущейся частице, кажутся длиннее интервалов в системе покоя частицы. Поскольку наша частица первоначально была в покое в системе , то мы ожидаем, что что для малых
и все получается великолепно. Согласно (13.31) и (13.32),
и если скомбинировать (13.30) и (13.33), то это отношение равно единице.
Вот и выходит, что мы получаем один и тот же результат, независимо от того, анализируем ли мы движение летящей рядом с проволокой частицы в системе покоя проволоки или в системе покоя частицы. В первом случае сила была чисто «магнитной», во втором - чисто «электрической». Оба способа наблюдения показаны на фиг. 13.12 (хотя во второй системе еще есть и магнитное поле , оно не воздействует на неподвижную частицу).
Если бы мы выбрали еще одну систему координат, мы бы нашли некую другую смесь полей и . Электрические и магнитные силы составляют части одного физического явления - электромагнитного взаимодействия частиц. Разделение этого взаимодействия на электрическую и магнитную части в большой степени зависит от системы отсчета, в которой мы описываем взаимодействие. Но полное электромагнитное описание инвариантно; электричество и магнетизм, вместе взятые, согласуются с принципом относительности, открытым Эйнштейном.». В системе в точке заряда, и формула (13.1) не изменится, если источник полей или движется (изменятся в результате движения как раз значения и ). Наше математическое описание относится только к полям как функциям и , взятым в некоторой инерциальной системе отсчета.
Позднее мы будем говорить о «волне электрического и магнитного полей, распространяющейся в пространстве», например о световой волне. Но это все равно, что говорить о волне, бегущей по веревке. Мы при этом не имеем в виду, что какая-нибудь часть веревки движется в направлении волны, а подразумеваем, что смещение веревки появляется сначала в одном месте, а затем в другом. Аналогично для электромагнитной волны - сама волна распространяется, а величина полей изменяется.
Так что в будущем, когда мы - или кто-нибудь еще - будем говорить о «движущемся» поле, вы должны понимать, что речь идет просто о коротком и удобном способе описания изменяющегося поля в определенных условиях.